Kern und Bild einer Matrix

Question

Hallo Leute, ich brauch dringend Hilfe bei der Berechnung von Kern und Bild einer Matrix. Ich bin für jede Antwort dankbar :)

So lautet die Aufgabe:

Gegeben ist folgender reellwertiger Gleichungssystem:

\( \begin{pmatrix} -1&0&4&0\\-3&1&-4&1\\-4&1&0&0 \end{pmatrix} \) ·  \( \begin{pmatrix} x1\\x2\\x3\\x4 \end{pmatrix} \)    = \( \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \)

Wenden Sie den Gaußschen Algorithmus an, und ermitteln Sie mit diesem den Rang, den Kern und das Bild der jeweiligen Matrix, sowie die vollständige Lösungsmenge des  Gleichungssystems.

Lösung:

Mit dem Gauß-Verfahren habe ich die Matrix auf Zeilenstufenform gebracht. Der Rang beträgt 3.

Beim Gauß-Verfahren habe :

1) ich die erste Zeile mit -3 multipliziert und it der zweiten addiert.

2) Die erste Zeile mal -4 multipliziert und mit der dritten Zeile addiert.

3) Die dritte Zeile mit -1 multipliziert und die zweite Zeile von der dritten abgezogen.

Dann habe ich folgendes rausbekommen:

-1x₁ + 4x₃= 0

1x₂ -16x₃ + 1x₄= 1

x₄ = 0 

Es gibt keine Nullzeile, daher ist der Rang drei.

Um den Kern zu berechnen, rechne ich mit diesem Gleichungssystem weiter und setze hier den Nullvektor ein.

x₄ setze ich in die zweite Formel ein und löse nach x₂ auf. Als Ergebnis habe ich  x₂ = 16x_{3 .}

Die erste Zeile löse ich nach x₁ auf und habe x₁= 4x₃

Somit ist der Kern(M)= x₃ \( \begin{pmatrix} 4\\16\\1\\0 \end{pmatrix} \)

Ist das richtig so? Und wie berechne ich das Bild einer Matrix?

Answer 1

Aloha Anna :)

Zur Berechnung der Basis musst du die linearen Abhängigkeiten aus den Spaltenvektoren weitestgehend heausrechnen. Das kann man machen, indem man die Spaltenvektoren der Matrix durch elementare Spaltenumformungen auf Dreieckgestalt bringt. Man kann die Spalten auch als Zeilen in eine Matrix schreiben und elementare Zeilenoperationen dazu nutzen. Ich führe das im Folgendem mit Spalten vor:

$$\left(\begin{array}{rrrr}+3S_4 & -S_4 & +4S_1 & \\\hline-1 & 0 & 4 & 0\\-3 & 1 & -4 & 1\\-4 & 1 & 0 & 0\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{rrrr}+4S_2 & & +16S_2 & \\\hline-1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -16 & 1\\-4 & 1 & -16 & 0\end{array}\right)\to$$$$\left(\begin{array}{rrrr}\cdot(-1) & & +16S_4 &  \\\hline-1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & -16 & 1\\0 & 1 & 0 & 0\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{rrrr}\cdot\vec b_1 & \vec b_2 & & \vec b_3 \\\hline1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 0\end{array}\right)$$Eine Basis bilden alle vom Nullvektor verschiedenen Spaltenvektoren.

$$\text{Bild}(M)=\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\,,\,\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\,,\,\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right)$$

Zur Berechnung der Kerns musst du das homogene Gleichungssystem lösen:

$$\begin{array}{rrrrrcl}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & = && \text{Aktion}\\\hline-1 & 0 & 4 & 0 & 0 && \cdot(-1)\\-3 & 1 & -4 & 1 & 0 &&-3Z_1\\-4 & 1 & 0 & 0 & 0 && -4Z_1\\\hline1 & 0 & -4 & 0 & 0 && \\0 & 1 & -16 & 1 & 0 &&\\0 & 1 & -16 & 0 & 0 && -Z_2\\\hline1 & 0 & -4 & 0 & 0 && \\0 & 1 & -16 & 1 & 0 &&+Z_3\\0 & 0 & 0 & -1 & 0 && \cdot(-1)\\\hline1 & 0 & -4 & 0 & 0 && \\0 & 1 & -16 & 0 & 0 &&\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 &&\\\hline\hline\end{array}$$

Daraus lesen wir ab:$$x_1-4x_3=0\quad;\quad x_2-16x_3=0\quad;\quad x_4=0$$was sich äquivalent umformen lässt$$x_1=4x_3\quad;\quad x_2=16x_3\quad;\quad x_4=0$$

Für die Vektoren im Kern gilt also:

$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4x_3\\16x_3\\x_3\\0\end{pmatrix}=x_3\begin{pmatrix}4\\16\\1\\0\end{pmatrix}$$Das ist dasselbe Ergebnis wie du auch hast.

Comments

Vielen Dank für deine ausführliche Antwort!

Also sind Bild und Basis quasi das gleiche?

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Nicht ganz. Wenn du zu einer Basis einen Vektor dazu packst, der von den Basisvektoren linear abhängt, bleibt das Bild dasselbe. Eine Basis enthält immer die minimale Anzahl an benötigten Vektoren, um alle Bilder daraus bauen zu können.

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Hallo, ich habe die obige Aufgabe berechnet, doch einen anderen Lösungsverfahren benutzt. Und zwar habe ich die Matrix transponiert, sie anschließend mit dem Gauß-Verfahren auf die Dreiecksstufenform gebracht, die Matrix nun wieder transponiert und alle Spalten, die nicht eine Null-Spalte sind, als das Bild für A aufgeschrieben.

Für mein Bild erhalte ich also:
       Bild(A)= ⟨ \( \begin{pmatrix} -1\\-3\\-4 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 0\\0\\-1 \end{pmatrix} \) ⟩

Kann dieses Verfahren und somit diese Lösung auch richtig sein?

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Ja, deine Lösung ist auch richtig. Es gibt nicht die eine Basis. Die Vektoren in einer Basis sind nicht eindeutig.

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Vielen Dank!!! ❤