Question

Frage:Warum ist 1/x streng monoton fallend?

Problem: Die Definition ist ja: streng monoton fallend, wenn für alle
a,b ∈ D mit a<b gilt, dass f(a)>f(b). Nun habe wir aber bei 1/x z.B a=-1=f(a) und b=1=f(b) dann folgt aber f(a)<f(b), obwohl a<b gilt. Geht die Definition etwa anders oder mache ich ein Fehler? Hat das irgendwas mit der Polstelle zu tun?

Comments

Warum ist 1/x streng monoton fallend?
Nun habe wir aber ...

Genau deshalb ist die Funktion nicht streng monoton fallend.

Sie ist jeweils stremofa  in den Monotonieintervallen ℝ^- und ℝ⁺

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Hallo,

eine Rechenvorschrift definiert noch keine Funktion, es gehört auch ein Definitionsbereich dazu.

$f:\mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}, f(x):=1/x$ ist nicht monoton. Die Einschränkung auf positive reelle Zahlen wäre dann in der Tat monoton fallend.

Gruß

Answer 1

f ( x ) = 1 / x
D = R ohne 0
f ´( x ) = -1 / x²
D = R ohne Null

Wann ist
- 1 / x² fallend
stets denn
x² ist stets positiv
- 1 / x² ist stets negativ

Comments

Was soll das denn für eine Antwort sein? Du fragst: Wann ist -1/x² fallend? Und anwortet "stets". Niemand wollte das wissen und falsch ist es obendrein.

Gruß

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Tag MP,
was ist an meiner Anwort falsch ?

Niemand wollte das wissen
Sprichst du außerdem für alle ?

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Wenn im Titel eines Posts nach der Rechenvorschrift 1/x gefragt wird, dann dürfte eine Information über -1/x² nicht ohne weitere Erläuterungen hilfreich sein. "Niemand" bezog sich auf das lokale Universum, also die aktuelle Fragestellung.

Die Funktion $f(x)=-1/x^2$ (x reell , ohne 0) ist für negative x fallend und für positive x wachsend.

Oder solltest Du Dich verschrieben haben?

Gruß

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Wenn ich eine Aussage über die Monotonie
einer Funktion geben soll bilde ich zuerst die
1.Ableitung und schaue nach wo diese fallend
oder steigend ist. So geschehen.
Wann ist - 1/x² positiv und wann negativ.

Du meinst sicher
Wann ist
- 1 / x² fallend
stets denn
x² ist stets positiv
- 1 / x² ist stets negativ

Wann ist
- 1 / x² negativ
stets denn
x² ist stets positiv
- 1 / x2 ist stets negativ

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Der Fragesteller hat - ebenso wie die folgenden Kommentare - dargestellt, dass die Funktion $f:\mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}, f(x)=1/x$ nach der grundsätzlichen Definition nicht monoton ist.

Das Kriterium mit der ersten Ableitung greift nicht, weil der Definitionsbereich kein Intervall ist.

ich finde eine Antwort, die auf die Fragestellung nicht eingeht und irgendetwas anderes erzählt nicht hilfreich.

Gru0 MathePeter

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Wenn ich eine Aussage über die Monotonie
einer Funktion geben soll bilde ich zuerst die
1.Ableitung und schaue nach wo diese fallend
oder steigend ist.

Ich will es mal so umschreiben: Das ist VÖLLIGER UNSINN!

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Bei mir kam die Frage auf :
Ist die Funktion eigentlich streng
monoton fallend ?
a > b
f ( a) < f(b)
I

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Hallo Georg,

die Ableitungsfunktion f'(x)=-1/x² ist zwar für alle x≠0 negativ, trotzdem ist die Funktion f(x)=1/x nicht streng monoton fallend, da sie nicht stetig ist und an der Definitionslücke eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel hat.

Deine Methode mit der ersten Ableitung funktioniert nur bei stetigen Funktionen.

In deiner Antwort steckt außerdem ein Schreibfehler.

Wann ist

- 1 / x^2 fallend

stets denn

x^2 ist stets positiv

- 1 / x^2 ist stets negativ

Es muss heißen:

Wann ist 1/x fallend?
Stets, denn x² ist stets positiv und
- 1/x² ist stets negativ.

:-)

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@georgborn

Bei mir kam die Frage auf :
Ist die Funktion eigentlich streng
monoton fallend ?
a > b
f ( a) < f(b)

richtiges Gegenbeispiel des Fragestellers:

Nun habe wir aber bei 1/x z.B a=-1=f(a) und b=1=f(b) dann folgt aber f(a)<f(b), obwohl a<b gilt.

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Zur Frage nach der fehlenden Stetigkeit von $f: \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}, f(x):=1/x$ zitiere ich Wikipedia:

"In diesen Fällen wird manchmal unpräzise formuliert, die Funktionen seien in den entsprechenden Stellen unstetig. Dies ist allerdings nicht richtig, da sich die Frage nach der Stetigkeit nur für Punkte im Definitionsbereich stellt."

Gruß

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trotzdem ist die Funktion f(x)=1/x nicht streng monoton fallend, da sie nicht stetig ist und an der Definitionslücke eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel hat.

@MathePeter:

Dann eben so:

"trotzdem ist die Funktion f(x)=1/x nicht streng monoton fallend, da sie bei x=0 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel hat."

:-)

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Polstelle mit Vorzeichenwechsel  - → +  sollte es für 'nicht streng monoton fallend' dann aber schon lauten

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@Wolfgang

Bei einem Vorzeichenwechsel von + nach - wäre die Funktion aber auch nicht streng monoton fallend, oder?

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Bei Polstellen hast du recht, ziehe den Einwand zurück.