Ist diese Funktion stetig im Punkt 0?

Question

Aufgabe:

\( g(x)=\left\{\begin{aligned} 1 & \text { für } x>0 \\ 0 & \text { für } x=0 \\-1 & \text { für } x<0 \end{aligned}\right. \)

Ist diese Funktion stetig im Punkt 0? Warum?
Problem/Ansatz:

Also, damit die Funktion stetig ist, sollte der Grenzwert von f an der Stelle a existieren. Aber das hilft mir hier nicht. Könnte jemand mir bitte dabei helfen?

Answer 1

Aloha :)

Der linksseitige Grenzwert und der rechtsseitige Grenzwert der Funktion für \(x\to0\) ist unterschiedlich:$$\lim\limits_{x\nearrow0}g(x)=-1\quad;\quad\lim\limits_{n\searrow0}g(x)=+1$$Daher kann man die Funktion am Ort \(x=0\) nicht stetig ergänzen. Die Funktion ist daher unstetig im Punkt \(x=0\).

Comments

Ist es immer so dass wenn linksseitige und rechtsseitig Grenzwerte sich unterscheiden, die Funktion nicht stetig ist?

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Ja, es ist eine notwendige Bedingung für die Stetigkeit, dass der links- und der rechtsseitige Grenzwert existieren \((<\infty)\) und beide gleich sind. Wenn sie an einer Stelle nicht erfüllt ist, kann die Funktion dort nicht stetig sein.

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Vielen Dank :)

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Ja, es ist eine notwendige Bedingung für die Stetigkeit, dass der links- und der rechtsseitige Grenzwert existieren

Nach dieser Logik wäre \( \sqrt{x} \) an der Stelle 0 nicht stetig.

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Mit dem Zusatz "innerhalb des Definitionsbereichs", sollte das Problem gelöst sein. Früher hieß es immer, dass eine Funktion stetig ist, wenn ich den Graphen zeichnen kann, ohne den Stift abzusetzen. Doch heute wird zum Zeichnen kein Stift mehr benutzt, sondern es ist eine Aneinanderreihung von Unstetigkeitsstellen.

Eine Folge der Digitalisierung.

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@abakus:

Völlig richtig, weil es an dem Punkt \(x=0\) überhaupt keinen linksseitigen Grenzwert gibt, da die Funktion \(\sqrt x\) nicht für negative \(x\) definiert ist. Anschaulich enden Funktionen am Rande ihres Definitionsbereichs und man fällt ins "Bodenlose" wenn man trotzdem weiter auf dem Graphen entlang geht.