Wir betrachten die drei Vektoren

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die drei Vektoren

\( v_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right), \quad v_{2}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ -1 \\ 4\end{array}\right), \quad v_{3}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{4} \)

(i) Zeigen Sie, dass v1, v2, v3 ∈ R4 linear unabhängig ist.
(ii) Ergänzen Sie (v1, v2, v3) zu einer Basis des R4.
(iii) Schreiben Sie die Standardbasisvektoren e1,...,e4 ∈ R4 als Linearkombinationen Ihrer Basis aus dem vorherigen Aufgabenteil.

Answer 1

(i) Zeigen Sie, dass v1, v2, v3 ∈ R4 linear unabhängig ist.

[1, 1, 0, 0]
[1, 2, -1, 4]
[1, 0, 1, 1]

II - I ; III - I

[1, 1, 0, 0]
[0, 1, -1, 4]
[0, -1, 1, 1]

III + II

[1, 1, 0, 0]
[0, 1, -1, 4]
[0, 0, 0, 5]

(ii) Ergänzen Sie (v1, v2, v3) zu einer Basis des R4.

Ich ergänze passend

[0, 0, 1, 0]

(iii) Schreiben Sie die Standardbasisvektoren e1,...,e4 ∈ R4 als Linearkombinationen Ihrer Basis aus dem vorherigen Aufgabenteil.

[1, 1, 0, 0; 1, 2, -1, 4; 1, 0, 1, 1; 0, 0, 1, 0]` = [0.4, -0.2, 0.8, -1; 0.6, 0.2, -0.8, 1; 0, 0, 0, 1; -0.4, 0.2, 0.2, 0]

Also z.B.

0.4·v1 - 0.2·v2 + 0.8·v3 - 1·v4 = [1, 0, 0, 0]

Comments

vielen Dank für ihre Hilfe

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wie biste auf die lsg gekommen von ii und iii.

bei ii hab ich einf eins ausprobiert aber bei iii bin ich selbst nicht auf die lsg gekommen.

wie hast du das gemacht?