Kosten - und Gewinnfunktion

Question

Aufgabe:

Kosten-/Gewinnfunktion

Problem/Ansatz:

Ich kann folgende Aufgabe nicht lösen:

In einem Betrieb werden u. a. Fahrräder hergestellt. Pro Fahrrad werden Herstellungskosten von 120 EUR bei wöchentlichen Fixkosten von 1.500 EUR veranschlagt.

Die pro Woche verkaufte Stückzahl x fällt mit einem Stückpreis p näherungsweise nach der Beziehung (x)p = 140 - 0,2 p. Ermittle Gewinngrenze, G max. und bei welcher verkaufter Stückzahl mindestens 10.000 EUR Gewinn (pro Woche) erzielt werden.

Ich hoffe, Ihr könnt mir helfen. Mich irritiert der obige Satz:" Die pro Woche verkaufte Stückzahl........(x)p = 140 - 0,2 p"

Eine verzweifelte Mutter, die versucht Ihrem Kind bei der Mathe-HÜ zu helfen :-)

Answer 1

Kosten sind 1500+120x

Erlös ist Preis mal Menge d.h. p * (140 - 0,2 p)

Gewinn ist Erlös minus Kosten.

Musterlösung folgt nachher noch im Kommentar zu dieser Antwort.

Comments

Aus x(p) = 140 - 0,2p    (das ist Menge in Abhängigkeit vom Preis) folgt durch Umformung

Preis p = 5*(140-x)       (das ist der erzielbare Preis wenn man x Stück verkaufen will)

Der Erlös ist p * x = 5*(140-x) * x = -5x² + 700x.

Die Erlösfunktion (rot) und die Kostenfunktion (blau) verhalten sich also so:

Die Gewinnfunktion ist die Differenz davon, im Bild grün:

Die Gewinngrenze erhält man durch Kosten = Erlös (zwei Lösungen).

Das Gewinnmaximum erhält man, indem man die erste Ableitung der Gewinnfunktion gleich Null setzt und sie löst, ich komme auf x = 58.

Die Stückzahl, bei der mindestens 10000 Euro Gewinn erzielt werden, erhält man indem man die Gewinnfunktion gleich 10000 setzt und diese quadratische Gleichung löst. Ich komme auf eine untere Grenze von etwa 25.4 Stück (darunter ist die Menge zu klein) und eine obere Grenze von etwa 90.6 Stück (darüber ist der erzielbare Preis zu klein), wobei man das runden soll weil es nur ganze Fahrräder gibt.

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Vielen, vielen Dank!

Bei der Umformung - wieso da plötzlich 5 steht -  hab ich zwar etwas gebraucht aber nun wieder etwas dazu gelernt ;-).

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"Die Mehrheit bringt der Mathematik Gefühle entgegen, wie sie nach Aristoteles durch die Tragödie geweckt werden sollen, nämlich Mitleid und Furcht. Mitleid mit denen, die sich mit der Mathematik plagen müssen, und Furcht: dass man selbst einmal in diese gefährliche Lage geraten könne."

Paul Sophus Epstein