Berechnen Sie nun zunächst die Masse M des Kegelstumpfs und wählen Sie die richtige Antwort

Question

Aufgabe: Masse eines Kegelstumpfs berechnen

Wir betrachten in den Fragen auf dieser Seite einen Kegelstumpf mit inhomoger Dichteverteilung in dimensionsbehafteten Größen (SI-Einheiten).

Die Grundfläche des Kegelstumpfs hat den Radius r _1 = 0,02 m und liegt in der x-yEbene. Die obere Fläche liegt in einer Höhe ℎ = 0,024 m über der Grundfläche und hat einen Radius r_2 = 0,01 m.

Die Dichteverteilung in diesem Kegelstumpf ist durch die Funktion

rho(r )=1,8 kg/cm^3 + 1,3 kg/cm^4 +( 0,6 kg/cm^5)*z^2

Text erkannt:

\( \rho(\vec{r})=1,8 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{cm}^{3}}+1,3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{cm}^{4}} x+0,6 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{cm}^{5}} z^{2} \)

gegeben.

Berechnen Sie nun zunächst die Masse M des Kegelstumpfs und wählen Sie die richtige Antwort (geg. in Kilogramm (kg)) aus!

1. 41,0
2. 50,1
3. 31,9
4. 45,6
5. 36,5

Problem/Ansatz:

Ich habe leider keine Ahnung, wie ich an dieses Problem herangehen soll. Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte :)

Comments

Die Dichteverteilung in diesem Kegelstumpf
ist durch die Funktion

rho(r )=1,8 kg/cm3 + 1,3 kg/cm4 +
( 0,6 kg/cm5)*z2

Was bedeutet das ?

Bezüglich der Dichte kenne ich nur
rho = ...

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Bezüglich der Dichte kenne ich nur  rho = ...

Sind deine Kenntnisse so abgehackt wie das, was du schreibst ?
Wenn du allerdings  " ρ = dm / dV "  gemeint haben solltest, so lass dir gesagt sein, dass du damit völlig richtig liegst.

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Mach einfach eine Transformation in Zylinderkoordinaten:

\( \rho(r,\varphi,z)=1,8 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{cm}^{3}}+1,3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{cm}^{4}} (r\cos(\varphi))+0,6 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{cm}^{5}} z^{2} \)

Die Masse ist $$ M = \int_V \rho(\mathbf r) ~\textrm d V = \int_0^h \int_0^{2\pi} \int_0^{R(\varphi,z)} \rho(r,\varphi,z) ~r\textrm dr~\textrm d\varphi ~\textrm dz $$ wobei \( R(\varphi,z) = \frac{z}{h} r_2 + \frac{h-z}{z} r_1 \). Beachte dabei die Einheiten!

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Aloha :)

Exakt dieselbe Aufgabe habe ich bereits ausführlich berechnet:

https://www.mathelounge.de/787624/masse-eines-kegelstumpfes-hilfe-dichtefunktion-berechnen

Nur die Dichtefunktion ist minimal anders...

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Achtung. Deine Aufgabe enthält andere Werte. Damit ist es nicht exakt dieselbe Aufgabe. Aber immerhin hat der Fragesteller jetzt noch eine Lösungsmöglichkeit zum nachvollziehen.

Answer 1

Hier meine Lösung mittels Derive

m = ∫(∫(2·√((2 - 1/2.4·z)^2 - x^2)·(1.8 + 1.3·x + 0.6·z^2), x, - (2 - 1/2.4·z), 2 - 1/2.4·z), z, 0, 2.4) = 45.56 kg

Comments

Bitte beachte auch die Rechnung von Tschakabumba unter folgendem Link. Händisch geht das so einfacher zu rechnen.

https://www.mathelounge.de/787624

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Vielen Dank für die Hilfe und Lösung! Hab mich zwar beim ersten Durchgang ziemlich verrechnet aber komme jetzt aufs gleiche Ergebnis :)

Answer 2

Die Rechnung

M=\( \int\limits_{0}^{2,4} (π(2-1/2,4z)^2*(1,8+0,6z^2)dz\)

Der Rest ( das Integral eines Polynomes 4. Grades) sollte zu machen sein.

Die Gedanken dazu:

Es geht darum, den Kegelstumpf in geeignete Quader zu zerlegen, die jeweils die gleiche Dichte haben. Wir können ihn also parallel zur x,y Ebene in dünne Zylinder mit der Höhe dz schneiden.

Diese Scheiben schneiden wir parallel zur y,z Ebene in Quader mit der Breite dx, der Höhe dz  jetzt haben wir viele Quader , die alle jeweils eine homogene Dichte haben. Dann müssen wir diese nur noch aufsummieren.

Nun  muss es also nur noch jemanden geben, der die Masse dieser Quader jeweils berechnet und sie dann summiert.

Der Vorteil ist, dass wir den Anteil 1,3 x vergessen können , denn was im Plus dazu kommt, fällt im Minus wieder weg.

Wir müssen wie geschehen nur die Kreisfläche multipliziert mit der Dichte integrieren. Wie oben geschehen.

Comments

Leider verstehe ich nur Bahnhof.

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H will den Kegelstumpf in viele kleine PommesFrites zerlegen, die parallel zur y-Achse ausgerichtet sind. Weil die Dichte nicht von y abhängig ist, ist die Masse eines solchen PommesFrites nur von seiner Lage im Kegelstumpf (also von x und z) und von seiner Länge abhängig.

Er scheut allerdings die konkrete Berechnung nach dieser Methode.
Zum Glück gibt es aber zwei einfachere Verfahren.

Nebenbei bemerkt : In welchem Forschungslabor werden Materialien mit einer solch irrwitzig hohen Dichte hergestellt ?

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Zugegeben, ich habe keine Ahnung und ich habe keine Zeit. Doch irgendwo in meiner Erinnerung ist es so, dass die Integrale genau so berechnet werden wir teilen die Fläche in schmale Streifen ein und addieren diese Flächen dann.

Doch der Weihnachtsbaum steht noch nicht und die Geschenke sind auch nich nicht eingepackt.

Ich wünsche euch allen eine entspannte Weihnachtszeit und vor allem Gesundheit.

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Nur kurz,

den Teil 1,3x können wir getrost vergessen,  denn das was wir auf der einen Seite gewinnen, verlieren wir auf der anderen Seite.

Wir können also von der Kreisfläche ausgehen. Müssen also nur noch die Salamischeiben addieren.

Wenn das so weiter geht, kann sogar ich das hinschreiben.

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Damit hast du doch jetzt nach M, der die erste beigesteuert hat, auch die zweite (sogar noch günstigere) der oben von mir als einfacher bezeichneten Vorgehensweisen genannt.

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Wir haben die Kreisfläche als eine Funktion von z und wir haben die Dichte als eine Funktion von z, dann können wir doch beides miteinander multiplizieren und haben die Masse als eine Funktion von z und dann summieren wir alles auf, bilden also das Integral von 0 bis 2,4von dieser Funktion. Ich finde von einem Realschüler kann man nicht mehr erwarten.

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Die Antwort wurde ergänzt, die Integration der Parabel sollte keine Schwierigkeiten mehr machen.

So der Baum steht, die Lichter brennen und jetzt habe ich auch noch Zeit die Kugeln ranzuhängen.

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Natürlich keine Parabel, sondern ein Polynom 4.Grades gilt es zu integrieren.

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:)

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@Gast hj2166

"Er scheut allerdings die konkrete Berechnung nach dieser Methode.
Zum Glück gibt es aber zwei einfachere Verfahren."

Es waren Gedanken, es war kein Verfahren. Die Gedanken halte ich nach wie vor für richtig. Sicher hätte man auch schon vorher auf die Idee kommen können bei der Dichte den x-Anteil zu unterschlagen, doch besser spät als nie. Das Verfahren habe ich danach geschildert. Die Rechnung steht oben in der Antwort. Mir gefällt sie übrigens besser als die Antworten der Konkurrenz. Es wundert mich auch, dass bei solch elementaren Gedanken, wie dem meinen ein Unverständnis geäußert, dass gleichzeitig aber komplizierte Berechnungen kommentarlos übernommen werden.

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Mir gefällt sie übrigens besser als die Antworten der Konkurrenz.

Wie oben erwähnt : mir auch.

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Danke für das Lob.

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Mir haben die Gedanken definitiv mit dem Verständnis der Aufgabe geholfen!

Und zur Frage wegen den Dichten, es ist einfach nur ein Rechenbeispiel zur Übung ohne auf die “reale Welt” acht zu geben :)

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Danke das freut mich.

Die reale Welt ist zur Zeit eh bescheiden. Warum also nicht rumspielen. Ich habe übrigens geschafft, der Baum steht, die Kugeln und Sterne hängen im Baum und die Lichter brennen.

Doch es ist ein besonderes Weihnachtsfest, die Tochter ist mit Mann und Kindern daheim geblieben und meine Mutter traute sich auch nicht sich auf den Weg zu uns zu machen.

Schöne Feiertage.