Finden Sie Basen von U und W. Geben sie Basen von U + W und U ∩ W an.

Question

Aufgabe:

Sei U = {(x, y, z) ∈ R³ : x + y − z = 0} und W = {x, y, z) ∈ R³ : x + y = 0}.

1. Finden Sie Basen von U und W.
2. Geben Sie jeweils eine Basis von U + W und U ∩ W an.

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich Basen finden kann...

Answer 1

Hallo schreib einfach mal Vektoren auf, die den Bedingungen genügen,

a) (1,0,1) (0,1,1)  sind die einfachsten. kannst du alle mit x+y-z=0 daraus kombinieren, etwa (3,4,7)  oder (a,b,a+b) dann hast du eine Basis.

jetzt versuch dasselbe mit b)

Gruß lul

Comments

Hallo,

Sorry für die späte Antwort. Ich habe jetzt Basen für W und U. Ich verstehe aber nicht wie ich nun eine Base aus W+U oder U∩W finden soll...

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Okay ich habe jetzt Basen für U+W. Ich verstehe aber nicht wie ich nun eine Base aus U geschnitten W finden soll. Ich habe die Basen jetzt erstmal gleichgesetzt, aber weiß nicht wie ich fortfahren soll...

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Welche Vektoren sind  denn U∩W  und U+W?

lul

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Ich verstehe aber nicht wie ich nun eine Base aus U geschnitten W finden soll.

$B_U = \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}$  ist eine Basis von U mit der Dimension 2

U = {(x, y, z) ∈ ℝ³ : x + y − z = 0} und W = {x, y, z) ∈ ℝ³ : x + y = 0}

U∩W  enhält also genau alle Elemente von U mit der z-Koordinate 0.

U∩W hat also die Dimension 1 und jeder beliebige Vektor von U∩W ≠ $\vec{0}$ ergibt eine Basis von U∩W:
$B_{U∩W} = \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\right\} \text{ ist also eine Basis von U∩W}$

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Vielen Dank. Das habe ich jetzt verstanden!!

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Wie komme auf auf eine Basis von U+W? Das verstehe ich nicht...

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Hallo

wieviele linear unabhängige Vektoren hast du denn in U+W?

soviel bilden eine Basis