wie negative Binomialverteilung zeigen?

Question

Seien \( X_{1}, \ldots, X_{n} \) unabhängige, identisch geometrisch verteilte Zufallsvariablen mit Parameter \( p \in(0,1) \). Sei außerdem

\( Y_{n}:=\sum \limits_{i=1}^{n} X_{i} \)

Zeigen Sie, dass \( Y_{n} \) negativ binomialverteilt mit Parametern \( n \) und \( p \) ist.

Comments

vgl:

https://de.wikipedia.org/wiki/Negative_Binomialverteilung

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Hallo,

es gibt zwei Varianten für "geometrische Verteilung". Schreib doch mal hierhin, was Eure Variante ist:

$$P(X_i=k)=?$$

Gruß

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vielen Dank für eure Antworten. Bei uns war die neg. Binomialverteilung so definiert:

$$Geo(p)({k})=p(1-p)^k$$

Answer 1

Hallo,

um die Verteilung von Y (n ist jetzt fxiert, lasse ich weg) zu berechnen, brauchen wir die Wkt P(Y=y) für y=0,1,2,3,....

Nun gilt:

$$Y=y \iff X_i=k_i \text{ und } k_1+ \ldots k_n=y$$

Es gilt weiter

$$P(X_1=k_1 \wedge \ldots X_n=k_n)= p(1-p)^{k_1} \cdots p(1-p)^{k_n}=p^n(1-p)^y$$

Also ist diese wkt unabhängig davon, wie die \(k_i\) im Einzelnen gewählt sind. Bleibt diie Frage: Wieviele Möglichkeiten gibt es eine Summe

$$y=k_1 + \ldots + k_n$$ zu bilden mit \(k_i=0,1, \ldots, y\). Das sind

$$\begin{pmatrix} y+n-1 \\ n-1 \end{pmatrix}$$

Also insgesamt:

$$P(Y=y)=\begin{pmatrix} y+n-1 \\ n-1 \end{pmatrix}p^n(1-p)^y$$

Passt das zu Eurer Definition von negativer Binomalverteilung?

Gruß

Comments

Wow, vielen lieben Dank für deine Mühe, dass ist wirklich unglaublich nett!:)

Und ja, dass passt mir unserer Definition