Wie bestimme ich hier den Rang von A für n∈{2,3} und für beliebiges n

Question

Aufgabe:

Seien \(n∈ℕ\) mit \(n≥2\) und sei \(A= (a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\in \mathbb{R}^{n \times n} \) mit \(a_{ij}=i+j\) für alle \(1≤ i, j≤ n\).

i) Angenommen \(n∈ {2,3}\). Bestimmen Sie den Rang von \(A\).

ii) Bestimmen Sie den Rang von \(A\) für beliebiges \(n\).

Kann mir jemand vielleicht helfen?

Answer 1

Probiere doch erstmal zumindest i) zu machen. Wie kann man denn den Rang einer Matrix feststellen bzw. ihn ermitteln?

Comments

man kann den Rang einer Matrix durch das erzeugen der reduzierten Stufenmatrix ermitteln. Nur scheitert es bei mir an der Aufgabenstellung oder wie genau die Ausgangmatrix aussieht. Bei einer gg Matrix ist es für mich grundsätzlich kein problem den Rang zu ermitteln

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Ich kriege nur nicht genau hin bei der b, darzustellen dass der Rang für alle n immer gleich groß ist

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Betrachte den Fall n=2. Wie sieht die Matrix A dann aus?

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Für n=2 kommt Rang=2 raus und für n=3 kommt Rang=3 raus. entsprechend ist der Rang=n aber wie kann ich das nun für alle n≥2 darstellen. Bzw. es kommt immer die Einheitsmatrix raus

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Nein. Für n=3 kommt auch Rang 2 raus.

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ja stimmt das habe ich grade gesehen.

aber wie kann ich das nun allgemein beweisen

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Es reicht, wenn du den Gauß nur für die erste Spalte machst. Gucke dir dann die Zeilen an.

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ja das schema erkenne ich. letztendlich sind immer nur zwei der Zeilen linear unabhängig die anderen ein vielfaches der beiden Zeilen und somit fallen diese weg. nur wie beweise ich das nun für beliebiges n

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Ja genau. Schreibe sie dir nun mit beliebiger Größe n hin und zwar am besten so, sodass man nach Ausführen von Gaiß in der ersten Spalte danach sieht, dass die letzten n-1 Zeilen linear abhängig sind.

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vielen dank für die Hilfe

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Sehr gerne! :-)