Geradenschar mit Parameter t

Question

Wie geht das?


Kt ist das Schaubild von ft mit ft(x)= 2tx+4t-1.

a) Bestimmen sie die Koordinaten des gemeinsamen Punktes aller Schargeraden

b)Untersuchen sie Kt auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

c)Bestimmen sie t so, dass Kt auf der Geraden h mit y=3/2x senkrecht steht.

d)Für welchen Wert von t schneidet Kt die Gerade g mit y=-2x+3 an der Stelle x=1,5? Bestimmen sie den Schnittpunkt

Answer 1

a)

Wenn es einen gemeinsamen Schnittpunkt aller Funktionen der Schar gibt, dann muss  dieser Punkt insbesondere auch Schnittpunkt der Funktionen

f₀ ( x ) = 2 * 0 * x + 4 * 0 - 1 = - 1 und
f₁ ( x ) = 2 * 1 * x + 4 * 1  - 1 = 2 x + 3

sein. Also gleichsetzen:

2 x + 3 = - 1

<=> 2 x = - 4

<=> x = - 2

=> y = k₁ ( -2  ) = 2 * ( - 2 ) + 3 = - 1

Der gesuchte Punkt kannn also nur der Punkt ( x | y ) = ( - 2 | - 1 ) sein. Setzt man diesen in die Gleichung der Schar ein, so erhält man:

- 1 = f_t ( - 2 ) = 2 * t * ( - 2 ) + 4 t - 1

<=> - 1 = - 4 t + 4 t - 1

<=> - 1 = - 1

Dasist eine unabhängig von t wahre Aussage. Also ist der Punkt ( x | y ) = ( - 2 | - 1 ) tatsächlich gemeinsamer Punkt aller Funktionen der Schar f_t.

b)

Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen):

f_t ( x ) = 0

<=> 2 t x + 4 t - 1 = 0

[Auflösen nach x:]

<=> x = ( 1 - 4 t ) / 2 t

Die Funktion f_t schneidet also die x-Achse an der Stelle x = ( 1 - 4 t ) / 2 t

 

Schnittpunkte mit der y-Achse:

f_t ( x ) schneidet die y-Achse dort, wo x = 0 ist, also:

f_t ( 0 ) = 2 * t * 0 + 4 t - 1 = 4 t - 1

Die Funktion f_t schneidet also die y-Achse an der Stelle y = 4 t - 1

c)

f_t steht senkrecht auf der Geraden y = ( 3 / 2 ) x wenn das Produkt ihrer Steigung und der Steigung der Gerade = - 1 ist, wenn also gilt:

f_t ' ( x ) * ( 3 / 2 ) = - 1

<=> f_t ' ( x )  = - 1 / ( 3 / 2 )

<=> 2 t =  ( - 2 / 3 ) 

<=> t = - 1 / 3

Also: Die Funktion f_-1/3 steht senkrecht auf der Geraden h

d)

Gesucht ist t so, dass gilt:

f_t( 1,5 ) = g ( 1,5 )

<=> 2 * t * 1,5 + 4 t - 1 = ( - 2 ) * 1,5 + 3

<=> 7 t -1 = 0

<=> 7 t = 1

<=> t = 1 / 7

Also: Die Funktion f_1/7 ( x ) = ( 2 / 7 ) x + ( 4 / 7 ) - 1 = ( 2 / 7 ) x - ( 3 / 7 ) schneidet die Gerade g an der Stelle x = 1,5

Answer 2

 f t ( x ) = 2 * t * x + 4 * t -1

a) Bestimmen sie die Koordinaten des gemeinsamen Punktes aller Schargeraden

2 * t1 * x + 4 * t1 - 1 = 2 * t2 * x + 4 * t2 - 1
t1 * x + 4 * t1 - 1/2 = t2 * x + 2 * t2 - 1/2
t1 * x + 2 * t1 = t2 * x + 2 * t2
t1 ( x + 2 ) = t2 * ( x + 2)
l einzige Lösung : Produkt = null   =>  min 1 der Faktoren = 0
x + 2 = 0
x = -2
y = 2 * t * (-2) + 4 * t -1 = -1
( -2 l -1 )

b)Untersuchen sie Kt auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

Schnittpunkt y-Achse
f ( 0 ) =  2 * t * 0 + 4 * t  - 1
f ( 0 ) = 4 * t -1

Schnittpunkt x-Achse

f t ( x ) = 2 * t * x + 4 * t -1 = 0
2 * t * x = 1 - 4 * t
x = ( 1 - 4 * t ) / ( 2 * t )

c) Bestimmen sie t so, dass Kt auf der Geraden h mit y=3/2x senkrecht steht.

Steigung der Geraden : 3/2
Die dazu senkrecht stehende Gerade hat die Steigung n = - 1/ ( 3/2 ) = - 2/3

1.Ableitung bilden

 f ´ ( x ) = 2 * t
2 * t = -2/3
t = -1/3

 f ( x ) = 2 * (-1/3) * x + 4 * (-1/3)  - 1

d)Für welchen Wert von t schneidet Kt die Gerade g mit y=-2x+3 an der Stelle x=1,5? Bestimmen sie den Schnittpunkt

f t ( 1.5 ) = 2 * t * 1.5 + 4 * t -1 = -2*1.5 + 3
3 * t + 4 * t  = 0 + 1
7 * t = 1
t = 1/7

Probe :

2 * 1/7 * 1.5 + 4 * 1/7  -1 = -2*1.5 + 3
0 = 0

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg

Comments

Danke schon mal ;)


gibt es für die Nummer c) auch noch einen anderen Lösungsweg ?? vlt. einen ausführlicheren?

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  eigentlich ist in den beiden Antworten schon alles gesagt, aber hier
nocheinmal die Antwort ausführlicher.

  Der Kernsatz ist : für 2 Geraden die senkrecht aufeinander stehen gilt :

  m(1) = - 1/m(2) l m sind die Steigungen der Geraden.

  Beispiel : 1 Gerade mit der Steigung 1 ( 45 ° ) bedeutet für die darauf
senkkrecht stehende Gerade die Steigung -1/1 = -1 ( -45 ° ). Zeichne
einmal eine x-beliebige Gerade in ein Koordinatensystem und dann
zeichne eine dazu senkrecht stehende Gerade ein. Ermittle nun beide
Steigungen z.B. über den Tangens der ablesbaren Winkel. Der obige
Zusammenhang m(1) = -1/m(2) ist gegeben.

  Die Gerade h = 3/2 * x = 1.5 * x. Die Steigung ist 1.5.
  Die dazu senkrecht stehende Gerade ft soll die
Steigung -1/1.5 = -2/3 haben.

   f t ( x ) = 2 * t * x + 4 * t -1
   f t ´ ( x ) = 2 * t   l erste Ableitung ist die Steigung
   2 * t = -2/3
   t = -1/3

   mfg Georg