(a) Was gibt f‘(x) an ?
Die Steigung der Tangente an der Stelle x
(b) Was bedeutet f‘(x) > 0 ?
Die Tangente steigt an der Stelle x an, geht also von links unten nach rechts oben.
(c) Was bedeutet f‘(x) < 0 ?
Die Tangente fällt an der Stelle x, sie geht von links oben nach rechts unter
(d) Was bedeutet f‘(x) = 0 ?
An der Stelle x ist die Tangente waagerecht. Dort hat die Funktion entweder eine Extremstelle, also ein Maximum oder Minimum, oder sie hat einen Sattelpunkt, eine waagerechte Wendestelle.
(e) Wie bildet man f‘(x) bei einfachen Funktionen ?
Das ist eine komplizierte Frage.
Eine konstante Funktion hat immer an allen Stellen die gleiche Steigung, sie ist Null
f(x)= a ; f'(x)=f(x)
Eine proportionale Funktion hat immer die gleiche Steigung
f(x)= a*x ; f'(x) = a
Eine lineare Funktion hat auch immer die gleiche Steigung.
f(x)= a + b*x ; f'(x)= 0+b=b
Warum habe ich das jetzt so umständlich aufgeschrieben, weil wir damit eine Regel haben.
Wenn ich eine Funktion als Summe zweier Funktionen schreiben kann, dann ist die Ableitung die Summe der beiden Ableitungen.
f(x) = g(x)+ h(x) ; f' (x) = g'(x) + h'(x)
Ich sage mal, dass alle anderen Funktionen keine einfachen Funktionen sind.
Dort muss man den Grenzübergang des Differenzenquotienten machen und bekommt dann den Differentialquotienten.
\( \lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \)
dabei muss der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert gleich sein, also egal ob h positiv ist oder negativ, der Grenzwert muss gleich sein.
Ein Gegenbeispiel ist die Betragsfunktion
f(x)=|x| die ist an der Stelle 0 nicht differenzierbar.
So am Anfang sagte ich, dass die Frage kompliziert sei. Das sagte ich, weil ich nicht weiß, welche Funktionen noch zu den erwähnten als leicht angesehen werden.
Ich habe die Grenze dort gesetzt, wo der Grenzübergang gemacht werden muss.
Wenn aber noch andere Funktionen als leicht angesehen werden, dann muss nochmal nachgefragt werden .
(f) Was gibt f‘‘(x) an ?
So wie wir die Funktion darstellen können, so können wir auch die Ableitung darstellen.
f''(x) ist die Ableitung der Ableitung, also eine Aussage über die Veränderung der Steigung, die Krümmung.
