Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Eckpunkte eines n-Ecks ein stumpfwinkliges Dreieck bilden?

Question

Schönen Sonntagnachmittag! Ich bin gerade über folgende Aufgabe gestolpert und weiß nicht wirklich wie man die lösen könnte. Vielleicht hat ja jemand von euch eine Idee...

Aufgabe:

Gegeben ist ein n-Eck, dessen n Eckpunkte alle auf einem Kreis liegen. Die Punkte sind ansonsten zufällig gewählt. Seien A, B und C drei zufällig gewählte Eckpunkte. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Dreieck ABC stumpfwinklig ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe mir spontan irgendwie eine Aufteilung des Kreises mit dem Durchmesser vorgestellt. Alle Punkte die dann in einer Hälfte liegen bilden ein stumpfwinkliges Dreieck. Damit kann ich aber nicht wirklich Berechnungen anstellen. Das Problem ist auch, dass die Wahrscheinlichkeit nicht nur von n abhängt (Für gegebene Punkte mit n=3 kann die Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 sein), sondern eben auch davon "wie die Punkte liegen". Das bekomme ich aber so erstmal in keine Formel.

Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!

Comments

Ich vermute, dass man doch etwas mehr über die Verteilung der n Punkte auf der Kreislinie wissen sollte.

Liegen z.B. alle n Punkte auf einem Bogen mit Zentriwinkel kleiner als 180° , so kann man daraus gar keine spitzwinkligen Dreiecke bilden, und die gefragte Wahrscheinlichkeit wäre also gleich null.

Sollen vielleicht die n Punkte doch ein regelmäßiges n-Eck bieten ? Ferner sollte man etwas über die Wahrscheinlichkeitsverteilung bei der Auswahl der 3 Punkte aus n Punkten wissen. Gleichverteilung ? (aber auch darüber ist in der Aufgabenstellung nichts Konkretes gesagt ...)

---

Nein, das n-Eck ist explizit nicht zwangsweise regelmäßig. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung bei der Auswahl der Punkte sollte gleich sein.

"Liegen z.B. alle n Punkte auf einem Bogen mit Zentriwinkel kleiner als 180° , so kann man daraus gar keine spitzwinkligen Dreiecke bilden, und die gefragte Wahrscheinlichkeit wäre also gleich null." (Sorry, ich weiß nicht wie das zitieren geht ;)

Die Dreiecke sollen stumpfwinklig sein, die gefragte Wahrscheinlichkeit wäre dann 1. Aber ich verstehe was du meinst. Das meinte ich damit, dass die Wahrscheinlichkeit auch davon abhängt, wie die Punkte liegen. Ich glaube aber, dass die Wahl der n Punkte mit in die gesamte Wahrscheinlichkeit zählt. Ich wähle also erst n Punkte auf einem Kreis und dann davon 3. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich jetzt ein stumpfwinkliges Dreieck habe. Anders ergibt die Aufgabe für mich keinen Sinn, wenn man sich solche Fälle wie den von dir beschriebenen anschaut.

---

Oh, ich habe da mal "stumpfwinklig" und "spitzwinklig" verwechselt. Doch ist eben die gesuchte Wahrscheinlichkeit davon abhängig, wie die ursprünglichen n Punkte auf dem Kreis verteilt sind. Man kann also keine konkrete W'keit berechnen, wenn man über diese Verteilung nichts weiß. Allenfalls könnte man dann eine "zweistufige" Wahrscheinlichkeitsverteilung untersuchen: Im ersten Schritt werden n Punkte z.B. im Sinne einer Gleichverteilung auf der Kreislinie verteilt. Dann wählt man von diesen n Punkten im zweiten Schritt drei Stück aus (eine von choose(n,3) Möglichkeiten herauspicken), um damit das Dreieck zu bilden.

Besondere Lust auf die entsprechenden Berechnungen verspüre ich im Moment allerdings nicht ...

Answer 1

Alle Punkte, die dann in einer Hälfte liegen bilden ein stumpfwinkliges Dreieck.

Das klingt doch schon sehr gut.

Damit wäre die Frage doch eigentlich wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wenn du drei beliebige Punkte (die paarweise verschieden sind) auf einem Kreis liegen, dass diese Punkte alle in einer Hälfte der Kreislinie sind.

Comments

Hab ich mir gerade auch überlegt. Bleibt für mich aber die Frage, wie ich die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen soll. Meine erste Idee:

Ich nehme zwei beliebige (verschiedene Punkte). Der dritte muss "in der gleichen Hälfte" liegen, also p=1/2? Bin mir damit aber sehr unsicher...

---

Ich nehme zwei beliebige (verschiedene Punkte). Der dritte muss "in der gleichen Hälfte" liegen, also p=1/2? Bin mir damit aber sehr unsicher...

Nichts einfacher als das. Zeichne doch mal zwei beliebige Punkte und überlege dann wohin du den dritten Punkt zeichnen musst, damit alle 3 Punkte in einer Hälfte liegen.

Das solltest du noch für ein paar andere erste Punkte versuchen. Ich denke die Wahrscheinlichkeit ist nicht immer 1/2.

---

Stimmt, 1/2 kommt nicht hin. Die Wahrscheinlichkeit hängt vom eingeschlossenen Zentriwinkel der ersten beiden Punkte ab und ist für gewählte erste Punkte mit dem Zentriwinkel a dann (180+a)/360, würde ich sagen (ist also sogar nie gleich 1/2). Jetzt muss ich aber ja noch irgendwie die Wahl des zweiten Punktes einbeziehen, weil die ja nun doch relevant ist (für den Winkel a). Aber wie mache ich das?

---

Ah du kommst der Sache doch schon immer näher.

Frage dich wie der Zentriwinkel zwischen den beiden ersten Punkten verteilt ist.

---

Was heißt, wie der Zentriwinkel verteilt ist?

---

Welche Zentriwinkel können auftreten und wie lautet dazu die Dichte oder die Verteilungsfunktion.

---

Erlaubt sein müsst alles größer als 0° und kleiner als 180°, wobei jeder Winkel doppelt auftritt. Eine Verteilungsfunktion habe ich leider noch nie aufgestellt :(

---

Dann würde ich die Verteilungsfunktion mit (180+a)/360 multiplizieren, wenn ich das richtig verstehe!? Wobei ich was mit dem a machen müsste? Das auch durch die Verteilungsfunktion ersetzen?

---

Die Idee ist schon gut. Jetzt musst du nur machen.

---

Wie stelle ich denn eine Verteilungsfunktion auf?