bestimme alle Eigenvektoren von A

Question

ich hätte da eine kurze frage zu meiner Aufgabe bezüglich Eigenvektoren;

die Aufgabe lautet,

Sei A=(3 2 -1

        -1 0 1

         1 1 0)

bestimme alle Eigenvektoren von A

so mein Ansatz war folgender;

1. die Diagonale -lambda gesetzt, so dass 3 0 0 - Lamda jeweils enthalten

2. dann die Matrix aufgestellt, erneut und die Regel von Sarrus angewendet, um die Nullstellen zu bestimmen

soweit so gut.

als Ergebnis habe ich dann aber Lambda Quadrat + lamda

3. so nun wollte ich die p/q Formel anwenden um dann hier im Nachhinein

4. die algbr.Vielfachheit anwenden zu können

so nun meine Fragen;

habe ich ab dem 2. Schritt eventuell einen Fehler gemacht und wie sollte ich jetzt am besten vorgehen bzw. was sollte ich mit der Aufgabe machen, um sie zu lösen.

2)meine zweites Anliege. wäre bei der Aufgabe

bestimmen sie die Eigenwerte der Matrix A=(-5 -3

                                                                     6 4)

gehe ich da genauso vor?

3) UND:

geben sie einen Eigenvektor v zum Eigenwert 3 der Matrix A an

A=(9 -2 -18

 -1 2 3

   3 -1 -6)

wäre sehr hilfreich, eure Sichtweise zu erhalten bzw. eure Hilfe

Answer 1

Aloha :)

Du hast leider schon bei der Determinante einen Bug drin. Richtig wäre:

$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{rrr}3-\lambda & 2 & -1\\-1 & -\lambda & 1\\1 & 1 & -\lambda\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrr}2-\lambda & 2 & -1\\0 & -\lambda & 1\\1-\lambda & 1 & -\lambda\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrr}1 & 1 & \lambda-1\\0 & -\lambda & 1\\1-\lambda & 1 & -\lambda\end{array}\right|$$Ich habe die 3-te Spalte zur 1-ten Spalte addiert und anschließend die 3-te Zeile von der 1-ten Zeile subtrahiert. Nun lässt sich die Determinante leichter entwickeln:$$\phantom{0}=(\lambda^2-1)+(1-\lambda)(1+\lambda(\lambda-1))=(\lambda-1)(\lambda+1)-(\lambda-1)(\lambda^2-\lambda+1)$$$$\phantom{0}=(\lambda-1)(\lambda+1-\lambda^2+\lambda-1)=(\lambda-1)(2\lambda-\lambda^2)=(\lambda-1)(2-\lambda)\lambda$$Die Eigenwerte sind daher:$$\lambda_1=0\quad;\quad\lambda_2=1\quad;\quad\lambda_3=2$$

Die Eigenvektoren dazu bekommst du, indem du in die Determinante bzw. in die Matrix, die zu der Determinante gehört, den jeweiligen Eigenwert einsetzt und den Kern davon bestimmst:

1) Eigenvektor zu \(\lambda_1=0\):$$\begin{array}{rrr|l}x & y & z & \text{Aktion}\\\hline3 & 2 & -1 & +3\cdot\text{Zeile 2}\\-1 & 0 & 1 & +\text{Zeile 3}\\1 & 1 & 0\\\hline 0 & 2 & 2 & -2\cdot\text{Zeile 2}\\0 & 1 & 1\\1 & 1 & 0\\\hline 0 & 0 & 0 & \\0 & 1 & 1\\1 & 1 & 0\\\hline\end{array}$$Wir haben also 2 Gleichungen für 3 Unbekannte, nämlich:$$y+z=0\quad;\quad x+y=0\quad\Longleftrightarrow\quad z=-y\quad;\quad x=-y$$Das liefert uns die Lösungen$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-y\\y\\-y\end{pmatrix}=-y\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$$und damit den gesuchten Eigenvektor:$$\vec v_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$$

Kriegst du die beiden anderen Eigenvektor nun allein hin? Falls nicht, frag bitte einfach nochmal nach...

Comments

Also erst mal vielen lieben Dank. Ich habe deine Rechnung zwar nachvollziehen können, nur habe ich mich nun zu gut mit der Aufgabe auseinandergesetzt, ohne die weiteren Ergebnisse zu erlangen. Jetzt bin ich mit über meine Ergebnisse überhaupt nicht sicher. Könntest du mir das eventuell mit der Variante der sarrusregel zeigen, dass wäre super nett.

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Könntest du mir das eventuell mit der Variante der sarrusregel zeigen, ...

Ist doch nur Algebra - oder? $$\phantom{=}\left|\begin{array}{rrr}3-\lambda & 2 & -1\\-1 & -\lambda & 1\\1 & 1 & -\lambda\end{array}\right| \\ = (3-\lambda)\lambda^2 + 2 + 1 -(3-\lambda)- 2\lambda - \lambda \\= (3-\lambda)(\lambda^2-1)+3-3\lambda \\= (\lambda-1)\left( (3-\lambda)(\lambda+1)-3\right) \\= (\lambda-1)\left( -\lambda^2 +2\lambda \right) \\= (\lambda-1)\left( 2-\lambda \right)\lambda$$In der 2.Zeile habe ich die Sarrusregel angewendet, der Rest ist etwas genauer hingucken ...