Bestimme die QR-Zerlegung mit Givens-Drehung.

Question

Es sei $$ A= \begin{pmatrix} 9 & -450 \\ 12 & 25 \\ 20 & 0 \end{pmatrix} $$

Bestimme die QR-Zerlegung mit Givens-Drehung.

Kann mir jemand vielleicht helfen bei den Drehmatrizen? Ich habe es bereits ausgerechnet, aber ich bekomme immer etwas falsches für die Matrix Q raus.

Also für die erste Drehmatrix habe ich folgendes raus:

$$ G_{21}= \begin{pmatrix} 0,6 & 0,8 & 0 \\ -0,8 & 0,6 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Stimmt die? Freue mich über jegliche Hilfe.

Answer 1

Hm,

ich hab hier

https://www.geogebra.org/m/f2t62ad9

eine App dazu. Musst Du allerdings anpassen weil das Beispiel R4x3 ist.

Ich komm auf

\(\small Q_3 Q_2 Q_1= \, \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&\frac{15}{17}&\frac{8}{17}\\0&\frac{-8}{17}&\frac{15}{17}\\\end{array}\right) \, \, \left(\begin{array}{rrr}\frac{3}{5}&0&\frac{4}{5}\\0&1&0\\\frac{-4}{5}&0&\frac{3}{5}\\\end{array}\right)  \, \left(\begin{array}{rrr}\frac{3}{5}&\frac{4}{5}&0\\\frac{-4}{5}&\frac{3}{5}&0\\0&0&1\\\end{array}\right)\)

und damit stimmen wir für Q₁ überein...

\(\small \left\{ \left(\begin{array}{rrr}\frac{9}{25}&\frac{-396}{425}&\frac{-4}{85}\\\frac{12}{25}&\frac{97}{425}&\frac{-72}{85}\\\frac{4}{5}&\frac{24}{85}&\frac{9}{17}\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rr}25&-150\\0&425\\0&0\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr}9&-450\\12&25\\20&0\\\end{array}\right) \right\} \)

Nachtrag:

In Zeile 17 kannst Du Dir einzelne Q_i erstellen lassen

Eliminiere a₃₁ (a₂₁ hast Du ja schon weg)

(17) G_T(3,1,3)

↦\(\small \left(\begin{array}{rrr}\frac{akk}{\sqrt{akk^{2} + aik^{2}} \; \operatorname{sgn}\left(akk \right)}&0&\frac{aik}{\sqrt{akk^{2} + aik^{2}} \; \operatorname{sgn}\left(akk \right)}\\0&1&0\\\frac{-aik}{\sqrt{akk^{2} + aik^{2}} \; \operatorname{sgn}\left(akk \right)}&0&\frac{akk}{\sqrt{akk^{2} + aik^{2}} \; \operatorname{sgn}\left(akk \right)}\\\end{array}\right) \)

dann einsetzen der Werte aus Schritt 1: Q A

(18)Substitute($17,{akk = Element(Q1 A,1,1), aik = Element(Q1 A,3,1)})

↦\(\small \left(\begin{array}{rrr}\frac{3}{5}&0&\frac{4}{5}\\0&1&0\\\frac{-4}{5}&0&\frac{3}{5}\\\end{array}\right)\)

Comments

Vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Die hat mir wirklich weitergeholfen. Ich dachte, dass ich dann irgendwie noch das Inverse bilden muss. Da hatte ich wohl einen Denkfehler drin.

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Ich hätte noch eine kleine Rückfrage. Ich habe noch $$b= \begin{pmatrix} 7225\\7225\\1445 \end{pmatrix}$$ gegben und soll eine Lösung für das Kleinste-Quadrate-Problem bestimmen mittels Rücksubstitution.

Es gilt $$||Ax - b||^{2} = ||Rx - G_{32}G_{31}G_{21}b||^2 \rightarrow min$$

Da muss ich nur die ausgerechneten Matrizen einsetzen und würde zwei Werte erhalten, oder?

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Hm, lass mich mal zusammenfassen.

Givens liefert ab

Q3 Q2 Q1 A = R ===Q=(Q3 Q2 Q1)^T===> A = Q R

Du hast

A x = b

\(\small \left(\begin{array}{rr}9&-450\\12&25\\20&0\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{r}x1\\x2\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}7225\\7225\\1445\\\end{array}\right)   \)

und lassen wir Givens mal bei Seite. min wird mit der Normalengleichung (*)

A^T A x = A^T b

\( \small \left(\begin{array}{rr}625&-3750\\-3750&203125\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{r}x1\\x2\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}180625\\-3070625\\\end{array}\right)   \)

(Q R)^T Q R x = (Q R)^T b

R^T Q^T Q R x = R^T Q^T b ,  Q^T Q = E

R^T R x = R^T Q^T b

dann sind wir wieder bei (*).

und was weiter?