Wer kann dieses Integral mit Substitution lösen?

Question

Aufgabe:

Wer kann mir hierbei helfen und mir dabei sinnvoll die Substitution bei Integralen erklären?

Problem/Ansatz:

Ich soll das Integral \( \int\limits_{0}^{1} \) \( \frac{1}{\sqrt{1+2x}} \)  mit Substitution berechnen. Ich stehe komplett auf dem Schlauch da ich bei diesen Aufgaben auch keine Ahnung habe wie ich die Substitution anwenden soll.

Answer 1

Hallo

1+2x=u, du=2dx

∫u^-1/2du =2*u^1/2+C

lul

Answer 2

$$ \int\limits_{}^{} \frac{1}{\sqrt{1+2x}} $$Ich habe mal die Grenzen weggelassen, die kannst du ja anschließend berücksichtigen.

Das sieht immer noch sehr kompliziert aus, darum setze (substituiere) ich $$ y=1+2x$$mit$$dy/dx=2 ; dx=dy/2$$ und schreibe es als Potenz$$ \int\limits_{}^{} \frac{1}{\sqrt{1+2x}} = \int\limits_{}^{} y^{-1/2} $$Das ist schon besser, nun kenne ich$$ \int\limits_{}^{} y^{-1/2} dy= 2*y^{1/2}+C$$Doch das ist nicht das was ich wollte, ich muss ja folgendes berechnen.$$ \int\limits_{}^{} y^{-1/2} dx=  \int\limits_{}^{} y^{-1/2} dy/2=$$$$ y^{1/2}+C=(1+2x)^{1/2}+C$$$$=\sqrt{1+2x}+C$$

Jetzt noch die Grenzen einsetzen und du bist fertig.

Answer 3

\( \int\limits_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1+2x}}dx \)

Substitution

\(u=1+2x\)

Umrechnung der Grenzen des Integrals , dann ist keine Rücksubstituierung nötig

obere Grenze \(x=1\)   →  \(u=3\)

untere Grenze \(x=0\)  →  \(u=1\)

Berechnung von \(dx\)

\(2x=u-1\)    →\(x=\frac{1}{2}u-0,5 \)

\(dx=0,5du\)

\( \int\limits_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1+2x}}dx\\=\int\limits_{1}^{3}\frac{0,5}{\sqrt{u}}du \\=0,5\int\limits_{1}^{3}u^{-\frac{1}{2}}du\\=0,5[2u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{3}\\=0,5[2\sqrt{3} ]-0,5[ 2\sqrt{1} ]=\sqrt{3}-1\)