Aufstellen von Funktionen: Eine kubische Parabel soll bei x=-1 die x-Achse schneiden, bei x=0 mit 45° ansteigen und ...

Question

Eine kubische Parabel soll bei x=-1 die x-Achse schneiden, bei x=0 mit 45° ansteigen und bei x=1 ein Extrremum mit y=4 erreichen. Erstellen Sie die Gleichung und erklären sie vorgangsweise-

Answer 1

Eine kubische Parabel

f(x) = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d

soll bei x = -1 die x-Achse schneiden,

f(-1) = 0
-a + b - c + d = 0

bei x = 0 mit 45° ansteigen und

f'(0) = 1
c = 1

bei x = 1 ein Extremum mit y = 4 erreichen.

f(1) = 4
a + b + c + d = 4

f'(1) = 0
3·a + 2·b + c = 0

Die Lösung des LGS lautet: a = 1 ∧ b = -2 ∧ c = 1 ∧ d = 4

Die Funktion lautet daher

f(x) = x^3 - 2·x^2 + x + 4

Comments

Gibt es auch den Rechenweg dazu?

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Das Rechenschema dazu ist das Additionsverfahren oder das Gaußsche Eliminationsverfahren.

https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsches_Eliminationsverfahren

Versuche dich daran. Ich bin dann gerne bereit dir zu helfen wenn du wirklich nicht weiter kommst.

Answer 2

Eine kubische Parabel soll bei \(x=-1\) die x-Achse schneiden, bei \(x=0\) mit 45° ansteigen und bei \(x=1\) ein Extremum mit \(y=4\) erreichen

bei \(x=1\) ein Extremum mit \(y=4\) →E\((1|\red{4})\)

E´\((1|0)\) doppelte Nullstelle:

\(f(x)=a(x-1)^2(x-N)\)

\(x=-1\) die x-Achse schneiden  →N\((-1|0)\)

N´\((-1|-4)\):

\(f(-1)=a(-1-1)^2(-1-N)=4a(-1-N)=-4\)

\(-4a(1+N)=-4\)

\(a(1+N)=1\)

\(a=\frac{1}{1+N}\):

\(f(x)=\frac{1}{1+N}(x-1)^2(x-N)\)

\(f'(x)=\frac{1}{1+N}[(2x-2)(x-N)+(x-1)^2]\)

Bei \(x=0\) mit 45° ansteigen: \(\tan(45°)=1\)

\(f'(0)=\frac{1}{1+N}[(-2)(0-N)+(0-1)^2]=\frac{1}{1+N}(2N+1)=1\)

\(N=0\):     \(a=1\) :

\(f(x)=(x-1)^2\cdot x \)

\(p(x)=(x-1)^2\cdot x+\red{4} \)