Wer hatt mehr Geld (Mathematik)?

Question

Mathematik

Problem/Ansatz:

Wer hatt mehr Geld (Mathematik)?
Gendankenexperiment: In einem Gebäude liegen am Eingang 2 Briefumschläge einer hatt immer doppelt so viel Geld wie der andre enthalten. Man darf immer in einen Schauen

Ein Jahr lang gehen Jan und Thomas in diese Gebäude und nehmen heden Tag einen Umschlag mit Jam nimmt einem zufalligen während Thomas in einen hineinschaut und sich denkt: 100 Euro sind drin. Wenn ich den andren nehme hab ich eine 50/50 Chance dass entweder 50 oder 200 Euro drin sind damit mach ich im schlechteren Fall 25 € Verlust im besseren krieg ich 100 € mehr.

Wer hatt am Ende des Jahres wahrscheinlich mehr Geld ?

Answer 1

Der Denkfehler von Thomas:

Die Wahrscheinlichkeit, dass ich den kleineren Betrag sehe, ist 50%. Das ist korrekt.
Der Erwartungswert beim Wechsel ist also 125 €. Das ist falsch. Es stimmt nur, wenn die Häufigkeiten von 50/100 und 100/200 gleich sind.
Am Jahresende wird er feststellen, dass er zwar etwa in der Hälfte aller Fälle der Wechsel klug war, aber in diesen Fällen der Betrag durchschnittlich nur halb so groß war wie in den anderen, wo er den Umschlag mit dem größeren Betrag erwischt hat.

Effektiv wird er durch seine Strategie in 50% aller Fälle einen (kleinen) Betrag verdoppelt haben oder einen (durchschnittlich doppelt so großen) Betrag halbiert haben. Statistisch wird sich das am Jahresende aufheben

Answer 2

Effektiv nimmt Thomas ja immer, egal welchen Betrag er in dem Briefumschlag sieht den anderen Umschlag. Da der Umschlag, in den er hinein sieht, frei gewählt ist, ist auch der den er mitnimmt frei gewählt. Er hätte also in den ersten auch gar nicht hineinschauen müssen, weil er ja eh den anderen nimmt.