Polynom dritten Grades bestimmen

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie ein Polynom dritten Grades, welches durch den Ursprung geht und im punkt (2/4) eine Wendetangente hat, die parallel zur Geraden y=-6x+2 ist

Problem/Ansatz:

also die Ursprungsformel ist klar, dann d =0 da es durch in Ursprung geht, dann f(2)=4 auch und weiter bin ich mir nicht sicher

Answer 1

Ansatz; f(x)=ax³+bx²+cx

          f '(x)=3ax²+2bx+c

          f ''(x)=6ax+2b

(1) f(2)=4  also 4=8a+4b+2c

(2) f ''(2)=0  also 0=12a+2b

(3) f '(2)=-6  also -6=12a+4b+c

Löse das System.

Comments

Ahm wie bist du jetzt auf die funktionen gekommen?

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Okay bin drauf gekommen , in die Ableitungen einsetzen

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Habs jetzt mit im gaus Verfahren probiert aber irgendwie nen Fehler rein gemacht :( kann jemand helfen

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\(\left(\begin{matrix} 8 & 4 & 2 & 4 \\ 12 & 2 & 0 & 0 \\ 12 & 4 & 1 & -6 \end{matrix}\right)\\ \text{multipliziere die 1. Gleichung mit -1,5 und addiere sie zur 2.}\\ \left(\begin{matrix} 8 & 4 & 2 & 4 \\ 0 & -4 & -3 & -6 \\ 12 & 4 & 1 & -6 \end{matrix}\right)\\ \text{Mache dasselbe mit 1. und 3. Gleichung}\\ \left(\begin{matrix} 8 & 4 & 2 & 4 \\ 0 & -4 & -3 & -6 \\ 0 & -2 & -2 & -12 \end{matrix}\right)\\ \text{mulitipliziere die 2. Gleichung mit -0,5 und addiere sie zur 3.}\\ \left(\begin{matrix} 8 & 4 & 2 & 4 \\ 0 & -4 & -3 & -6 \\ 0 & 0 & \frac{-1}{2} & -9 \end{matrix}\right) \)

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Ah okay dankeschön

Answer 2

Bestimmen sie ein Polynom dritten Grades, welches durch den Ursprung geht und im punkt (2/4) eine Wendetangente hat, die parallel zur Geraden y=-6x+2 ist

$$f(x)= ax^3+bx^2+ cx+d$$$$f'(x)=3ax^2+2bx+c$$$$f''(x)=6ax+2b$$$$f(0)= d=0$$$$f(2)=8a+4b+2c=4$$$$4a+2b+c=2$$$$f'(2)=12a+4b+c=-6$$$$8a+2b=-8$$$$f''(2)=12a+2b=0$$$$4a=8  ; a=2$$$$b=-6a=-12$$$$4*2-2*12+c=2$$$$c=18$$$$f(x)=2x^3-12x^2+18x$$

Comments

Hallo Hogar,

wenn Du für b= -12 errechnest solltest Du das auch damit abschließen...

Zum Nachrechnen

https://www.geogebra.org/m/Qaed4y4Y

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Hallo Wächter, danke, da war der Daumen zu dick. Ich habe es geändert.

Answer 3

Es geht auch ohne Differentialrechnung mit dem Ansatz: $$y=a\cdot\left(x-2\right)^3-6\cdot\left(x-2\right)+4$$ Mit \(y(0)=0\) folgt \(a=2\) und wir bekommen die Lösung $$y=2\cdot\left(x-2\right)^3-6\cdot\left(x-2\right)+4.$$ In Polynomform ist das $$y=2x^3-12x^2+18x.$$ (PS: Eigentlich wird nicht mal ein Gleichungssystem benötigt und wir können die Lösung im Kopf bestimmen.

PPS: Tippfehler beseitigt.)

Comments

Ohne anmaßend zu sein , würde ich sagen, das ist der Unterschied zwischen Bessel und Gauß, der eine konnte gut rechnen, der andere war zum Rechnen zu faul und dachte dafür etwas mehr.

Ich war zu faul zum Denken.

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Aso. :-)

(Natürlich muss ich noch den Tippfhler beseitigen...)