Gegebene Punkte ergeben eine Figur; Beweis dazu erbringen!

Question

Gegeben sind die Punkte 

A=(0; 0), B=(1; 1), C=(2; 0) und D=(3; 1) 

im kartesischen Koordinatensystem.

Frage: Welche geometrische Figur bilden die Strecken A und B, B und C, C und D, D und A? Ist sie ein Viereck, ein Dreieck oder eine Strecke. Beweise die Antwort, eine Skizze ist nicht ausreichend!

Comments

Eine Skizze könntest du eigentlich dem Beantworter gleich beilegen. Wichtiger noch wäre zu sagen, was ihr für ein Thema behandelt. Ob du zum Beispiel weisst, was eine Determinante, ein Vektor- oder ein Skalarprodukt ist. Ansonsten verstehst du die Beweise dann nicht.

Answer 1

Stelle alle 4 Geradengleichungen auf.

AB: x = (0;0)^T + s (1;1)^T

BC: x = (1;1)^T + t (1;-1)^T

CD: x = (2;0)^T + u (1;1)^T

DA: x = (3;1)^T + v (-3;-1)^T

Offensichtlich sind AB und CD parallel, da sie gleiche Richtungsvektoren besitzen und A(0;0) ∉ CD.

Lage von BC und DA:

Gleichsetzen:   x1: 1 + t = 3 - 3 v

                       x2: 1 - t = 1 - v   ⇒ t = v

                         oben eingesetzt:

                               1 + v = 3 - 3v

                                     v = 0,5

                                     t = v = 0,5

Die beiden Geraden schneiden sich und da v und t zwischen 0 und 1 sind, liegt dieser Schnittpunkt zwischen den beiden parallelen Geraden AB und CD. Damit handelt es sich um ein überschlagenes Viereck, in dem 2 Seiten parallel zueinander sind, also ein überschlagenes Trapez.