Zeigen Sie, dass f eine C-lineare Abbildung ist.

Question

Aufgabe:

Betrachten die Abbildung f : ℂ³ → ℂ³
                                            (z₁,z₂,z₃) |→ ( z₁ + z₂ + (1 + i)z₃;

                                                                  (1 + i)z₂ + (1 + i)z₃;

                                                              −iz₁ + (1 − i)z₂ + (2 − i)z₃)

a)   Zeigen Sie, dass f eine C-lineare Abbildung ist.
b)  Bestimmen Sie die darstellende Matrix M_B^B (f), wobei B die Standardbasis von ℂ³bezeichne.

c)  Bestimmen Sie den Rang von f sowie eine Basis von Ker(f).

Problem/Ansatz:

Beim Punkt a) ich habe die Definition von lineare Abbildung angewendet und kam zu diesem Ergebnis :

 → f(λ₁ (z₁ + z₂ + (1 + i)z₃) + λ₂ ((1 + i)z₂ + (1 + i)z₃) +λ₃ (−iz₁ + (1 − i)z₂ + (2 − i)z₃)) ). Ich bin nicht sicher ob es richtig ist deshalb möchte ich wissen ob ich richtig gemacht habe.

Beim Punkt b) ich habe begonnen der Matrix M als (1 1 (1+i), 0 (1+i) (1+i), -i (1-i)  (2-i)) darzustellen. Und der Standardbasis als (1 0 0, 0 1 0, 0 0 1). Aber ich weiß nicht wie soll ich weiter mit der Rechnung fortfahren.

Bei Punkt c) ich weiß nicht wie ich Anfangen soll.  Ich habe versucht die Spalte zu vereinfachen sodass ich eine Stufenmatrix bekommen werde. Ich denke dann kann man der Rang von f bestimmen. Aber ich weiß nicht wie soll man eine Basis von Ker(f) bestimmen soll.

Answer 1

Bei a) musst du zwei Dinge zeigen

Für alle x.y∈ℂ^3 gilt f(x+y)=f(x)+f(y)   und

für alle x∈ℂ^3 und λ∈ℂ gilt  f(λx) = λf(x).

Dazu musst du überlegen: Wie sehen die x,y aus ?

So: x=(x1,x2,x3) und y=(y1,y2,y3) mit Komponenten aus ℂ.

und x+y ist dann (x1+y1 , x2+y2, x3+y3).

Und f(x+y) bekommst du, wenn du bei der gegebenen Definition

für z1 = x1+y1 und für z2=x2+y2 ...   einsetzt und

f(x) indem du eben nur x1 für z1 und .....   einsetzt.

Und damit musst du versuchen zu zeigen, dass f(x+y)=f(x)+f(y)

auch wirklich stimmt.   etc.

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