Differentialgleichung lösen: y*sinx+sin(2x)

Question

Aufgabe: Heyy ich möchte folgende Differentialgleichung lösen: y‘=y*sinx+sin(2x)

Problem/Ansatz: zunächst berechne ich die homogene Lösung: yh = c*e^-cosx

Als nächstes muss ich die partikuläre Lösung berechnen. Mein anstatt war nun der Koeffizientenvergleich, ich habe hier jedoch noch nicht den richtigen Ansatz gefunden. Die vollständige Lösung wäre dann die Summe aus der partikulären und homogenen Lösung.

Answer 1

Hallo

einen geeigneten Ansatz sehe ich hier nicht!

also musst du Variation der Konstanten benutzen, C=C(x) einsetzen, nach Produktregel differenzieren gibt einen Ausdruck für C'(x), dann du nur noch integrieren musst. dabei hilfreich sin(2x)=2sin(x)*cos(x)

Gruß lul

Comments

Vielen Dank für deine Hilfe, den Ansatz hatte ich zunächst auch, bin aber daran gescheitert, dass ich nicht wusste was ich als Integrationsgrenzen setzen soll.

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Hallo

einfach allgemeines Integral mit Integrationskonstante. die kommt erst raus, wenn man Anfangsbedingungen hat.

Gruß lul

Answer 2

Hallo,

Löse die DGL via Variation der Konstanten

yh stimmt, yh = C*e^(-cosx)

Setze C=C(x)

yp= C(x) e^(-cos(x))

yp'=C'(x) e^(-cos(x)) +C(x)e^(-cos(x)) sin(x)

Setzte yp und yp' in die DGL ein und vereinfache:

Du bekommst:

C'(x)= sin(2x) e^(cos(x) ->Lösung via partielle Integration

C(x)=

->yp= C(x) e^(-cos(x))

y=yh+yp

Lösung:

\( y(x)=c_{1} e^{-\cos (x)}-2 \cos (x)+2 \)

Comments

Hallo

Bemerkung: yp= C(x) e^(-cos(x)) ist so falsch, das ist die Gesamtlösung.

Das Endergebnis ist aber richtig.

Gruß lul

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das verstehe ich jetzt nicht.

Was ist dann Deiner Meinung nach richtig

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Hallo

wenn man eine lineare  inhomogene Dgl löst, kann man eine spezielle oder partikulare Lösung raten, hat dann y=yh+yp

macht man Variation der Konstanten, hat man als Gesamtlösung y= C(x)*yh. Das hast du ja auch gemacht:C(x)=-2*e^cos(x)(cos(x)-1)+C1

falsch war nur yp=C(x)*yh

da müsste überall y statt yp stehen.

Gruß lul

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Es ist yh= C*e^(-cosx)

C=C(x)

yp= C(x)*e^(-cosx)

yp'= ..

usw.

Ich habe das immer so gerechnet, Du bist die Erste, die das moniert.

Hier ist kein Fehler.

Wo GENAU in welcher Zeile ist was falsch?

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Hallo

in den Rechnung ist nichts falsch. yp ist aber allgemein die Bezeichnung für die partikuläre Lösung, du schreibst aber yp=C(x)e^-cos(x) , das ist aber nicht yp sondern y also yh+yp

unten dann: yp= C(x) e^(-cos(x))

Aber da es nur ne Bezeichnungssache ist es auch nicht so wichtig. jedenfalls finde ich yp=2-2cos(x)

Gruss lul

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Das sehe ich anders, wenn Du Streit suchst bitte..

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Sorry, ich wollte weder Streit, noch dich kritisieren, vielleicht bin ich einfach andere Schreibweisen gewohnt, und hätte deine Schreibweise nicht verbessern müssen

Gruß lul

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dann iss ja gut.