Teilweises Wurzelziehen Hilfe

Question

Aufgabe: Teilweises Wurzelziehen

\( \sqrt[4]{32x^5 y^4 z^8} \) =

Problem/Ansatz:

Ich hab das raus bekommen:

\( \sqrt[4]{32x^5 y^4 z^8} \) =

32^\( \frac{1}{4} \) * x^\( \frac{5}{4} \) * y^\( \frac{4}{4} \) * z^\( \frac{9}{4} \) =

8 * x * \( \sqrt[4]{x*z} \) * y * z^2

Und die Lösung in meinem Buch steht aber:

\( \sqrt[4]{32x^5 y^4 z^8} \) =

\( \sqrt[4]{2^5 * x^4 * x * y^4 * z^4 * z^4} \) =

 2 * x * y * z^2 * \( \sqrt[4]{2*x} \)

Ich war mir so sicher ,dass ich es richtig hätte, wie kommt man auf diese Lösung

Comments

Beide Lösungen sind falsch!

Answer 1

Das ist simple Anwendung der Potenzgesetze.

Comments

danke für diese detaillierte Erklärung

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Das ist nicht besonders detailliert, aber die Potenzgesetze sind derart simpel, dass man sieht wo die Fehler der beiden Lösungen sind.

Answer 2

Aloha :)

$$\sqrt[4]{32x^5y^4z^8}=\sqrt[4]{2\cdot16\cdot x^{1+4}\cdot y^4\cdot z^{2\cdot4}}=\sqrt[4]{2\cdot2^4\cdot x\cdot x^4\cdot y^4\cdot (z^2)^4}$$$$=\sqrt[4]{2x\cdot2^4\cdot x^4\cdot y^4\cdot (z^2)^4}=\sqrt[4]{2x\cdot(2xyz^2)^4}=\sqrt[4]{2x}\cdot\sqrt[4]{(2xyz^2)^4}$$$$=2xyz^2\cdot\sqrt[4]{2x}$$

Comments

Das ist nicht richtig.

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Ich habe mir die Betragszeichen um das \(y\) gespart, weil das nicht die Lösung aus dem Buch ergibt. In der Aufgabenstellung wird es eine entsprechende Einschränkung geben, die sicherstellt, dass \(x,y\ge0\) ist.

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Zwei falsche Lösungen noch mit einer dritten falschen zu ergänzen, halte ich nicht für sinnvoll.

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"Ich habe mir die Betragszeichen um das \(y\) gespart, weil das nicht die Lösung aus dem Buch ergibt."

Warum muss der Lösungsvorschlag im Buch richtig sein? Sicher, x darf nicht kleiner Null sein, doch bei y und z sollte es doch keine Bedenken geben. Wenn es dazu eine Einschränkung gäbe, dann sollte diese doch auch genannt werden.

Answer 3

$$x≥0$$

$$\sqrt[4]{32x^5 y^4 z^8} =$$$$\sqrt[4]{16x^4 y^4 z^8*2x} =$$$$\sqrt[4]{16x^4 y^4 z^8} *\sqrt[4]{2x} =$$$$2x |y|z^2 *\sqrt[4]{2x} $$