Integral berechnen mit Ober- und Untersumme

Question

Aufgabe:

Seien \( a, b \in \mathbb{R} \) mit \( a<b \). Zeigen Sie mit Hilfe von Ober- und Untersummen, dass für \( x_{0} \in[a, b] \) und die Funktion
\(\chi_{x_{0}}(x)=\left\{\begin{array}{ll}1 &\text { für } x=x_{0} \\0 & \text { für } x \neq x_{0}\end{array}\right.\)
gilt, dass
\(\int \limits_{a}^{b} \chi_{x_{0}}(x) d x=0\)

Problem/Ansatz:

Ich bin mir wirklich nicht sicher, wie man das zeigen könnte...

Answer 1

Hallo

 1. die Untersumme ist immer 0, da man ja immer das minimum im Intervall nimmt. die Obersumme ist in jedem Intervall 0 in dem x0 nicht liegt im Intervall , indem x0 liegt ist sie Intervalllänge *1 d, h die ganze Obersumme ist 0+1*Intervalllänge, d,h sie geht gegen 0 für Intervalllänge gegen 0.

Gruß lul

Comments

Was genau meinst du mit der Intervalllänge? Die Intervalllänge [a,b]?

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Hallo

gemeint waren die Intervalle , oft (b-a)/n in denen man die Treppenfunktion aufstellt.

Gruß lul

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Ich habe noch nicht ganz verstanden, warum die Untersumme immer null ist könntest du das bitte nochmal erklären?

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Hallo

die Untersumme besteht ja aus Teilintervallänge mal Minimum des Funktionswertes in dem Teilintervall, und jedes Teilintevall hat als kleinsten Funktionswert 0

Gruß lul