Bestimmen Sie die Anzahl der positiven Nullstellen von f(x) = x4 − x − 10

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Anzahl der positiven Nullstellen von f(x) = x⁴ − x − 10

Problem/Ansatz:

Habe etwas im Internet recherchiert und habe zu diesem Problem die Vorzeichenregel von Descartes (https://de.wikipedia.org/wiki/Vorzeichenregel_von_Descartes) gefunden. Danach müsste hier bei der Aufgabe nur ein Vorzeichenwechsel (von +x⁴ auf -x) vorhanden sein, also im Umkehrschluss nur eine positive Nullstelle. Ist das alles was zu dieser Aufgabe gehört? Gibt es noch einen Weg das Ganze ohne eine von-irgendwo-hergezogene-Regel zu machen? Und wenn wir schonmal dabei sind, wie ist der Rechenweg für die Nullstelle(n)?

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Answer 1

Du kennst (hoffentlich) das Verhalten im Unendlichen, und dann solltest du noch die Koordinaten des Extrempunktes oder der Extrempunkte bestimmen können.

Comments

Alles klar, mach ich.

Answer 2

Die Funktion hat genau einen Tiefpunkt mit negativem y-Wert

und geht für x gegen ±∞ in beiden Fällen gegen +∞.

Also gibt es 2 Nullstellen, eine links und eine rechts vom Tiefpunkt.

Comments

Mir ist bewusst dass das so geht um die Anzahl an Nullstellen zu bestimmen, aber hierbei geht es um positive Nullstellen. Woher kann ich denn an der Vorgehensweise erkennen ob die Nullstellen ein positives oder negatives Vorzeichen haben? Trotzdem danke schonmal für die Hilfe.

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aber hierbei geht es um positive Nullstellen.

Dann berechne f(0)=-10.

Damit weißt du, dass du an der Stelle 0 noch unter der x-Achse bist. Also ist eine der beiden Nullstellen (in Zusammenhang mit \( \lim\limits_{x\to-\infty} f(x)=\infty\) ) im negativen Bereich.

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Ah, macht Sinn. Dankeschön :)