Herleitung diophantischer Gleichungen

Question

Die Gleichung a²+b²=c²+d² hat ganzzahlige Lösungen; zum Beispiel 1²+8²=4²+7². Mit den gleichen Basisziffern jeweils in doppelter Verwendung findet man dann eine weitere Lösung: 14²+87²=41²+78². Stelle eine Hypothese auf und beweise diese.

Answer 1

$$1^2+8^2=4^2+7^2$$$$(4*10)^2+(7*10)^2=(1*10)^2+(8*10)^2$$$$2*10*(1*4+8*7)=2*10*(4*1+7*8)$$$$(1+4*10)^2+(8+7*10)^2=(4+1*10)^2+(7+8*10)^2$$$$41^2+78^2=14^2+87^2$$

Wie benutzen also die von mir gefundenen triviale Lösung, setzen k=10

vertauschen einmal die Seiten, berücksichtigen, dass (ac+bd)=(ca+db)was eigentlich aber keine Rolle spielt , addieren zur Ausgangslösung meine vertauschte triviale Lösung mit k=10, addieren auf beiden Seiten 20*(ax+bd), benutzen den Benomi und haben das Ergebnisse.

Das geht, wenn man will, dann mit k=100 weiter.

$$4114^2+7887^2=1441^2+8778^2$$

$$1^2+8^2=4^2+7^2$$$$(1^2+8^2)k^2=(4^2+7^2)k^2$$$$1^2*k^2+8^2*k^2=4^2*k^2+7^2*k^2$$$$(1k)^2+(8k)^2=(4k)^2+(7k)^2$$

$$k∈ℕ$$

Comments

\(k∈ℕ\)

oder auch k = √99

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Danke, aber das ist dann keine ganzzahlige Lösung.

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Danke, aber das ist dann keine ganzzahlige Lösung.

Doch ;-)  der hj ist schon ein Scherzkecks!

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Wie gewünscht, wurde die Antwort ergänzt, so dass die gewünschte Lösung da steht, dass die Seiten noch vertauscht werden können, sollte nicht das Problem sein.

Answer 2

Die Hypothese ist:

wenn die vier ganzen Zahlen \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) für \(a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2} \) eine Lösung darstellen, dann gilt auch$$(k a + c)^2 + (k b + d)^2 = (k c + a)^2 + (k d + b)^2, \quad k \in \mathbb Z$$

Beweis:$$\begin{aligned} (k a + c)^2 + (k b + d)^2 &= (k c + a)^2 + (k d + b)^2, \quad k \in \mathbb Z \\ k^2a^2 + 2kac + c^2 + k^2b^2 + 2kbd + d^2 &=  k^2c^2 + 2kac + a^2 + k^2d^2 + 2kbd + b^2 &&|\,-2k(ac + bd)\\ k^2a^2 + c^2 + k^2b^2  + d^2 &=  k^2c^2  + a^2 + k^2d^2  + b^2 &&|\, -(a^2+b^2)\\ k^2a^2 + k^2b^2  &=  k^2c^2  + k^2d^2 &&|\ \div k^2\\ a^2 + b^2  &=  c^2  + d^2 \\ &\text{q.e.d.} \end{aligned}$$

Comments

Eine schöne Lösung, die nicht so einfach zu finden ist, wie meine .

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Die Hypothese lässt sich noch verallgemeinern auf$$(xa + yc)^2 + (xb + yd)^2 = (xc +y a)^2 + (xd + yb)^2, \quad x,y \in \mathbb Z$$.. wobei das irgendwie in der ersten Hypothese bereits enthalten ist, wenn man sie zweimal anwendet

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Das wollte ich gerade sagen, doch auch jetzt bist du schneller gewesen. Ich hatte mir deinen Beweis mal von unten nach oben angesehen. Da benutzt du ja meine triviale Lösung und die Ausgangslage. Wenn man aber zweimal meine Lösung mit unterschiedlichen Koeffizienten benutzt, kommt man auf deine verallgemeinert Lösung.

Nun könnten wir sicher noch weitere Lösungen finden, wenn wir deine Lösung nun auf sich selbst anwenden.

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Da benutzt du ja meine triviale Lösung und die Ausgangslage.

Nee! - ganz im Ernst: unsere Lösungen sind grundverschieden. Du multiplizierst lediglich die Summanden mit einem Faktor (dem \(k^2\)). In meinem Fall wird eine Linearkombination auf Werten von rechts und links des Gleichheitszeichen ausgeführt.

Suche doch mal nach dem \(k^2\) in dem Beispiel von Roland (s.o.).

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Hatte R. in seiner Aufgabenstellung nicht verlangt, dass in den weiteren Lösungen nur die Ziffern a,b,c,d vorkommen dürfen ?

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Hatte R. in seiner Aufgabenstellung nicht verlangt, dass in den weiteren Lösungen nur die Ziffern a,b,c,d vorkommen dürfen ?

Nö - hat er IMHO nicht. Er hat lediglich gezeigt, dass man

mit den gleichen Basisziffern jeweils in doppelter Verwendung  dann eine weitere Lösung findet

warum soll es einem bei der Suche nach einer (allgemeinen!) Hypothese dann nicht frei stehen, das "gleiche Basisziffern jeweils in doppelter Verwendung" mal ganz mathematisch zu verallgemeinern.

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Hallo Werner-Salomon,

ich erkenne nicht, wo der Unterschied ist. Betrachte dazu deine letzten zwei Zeilen. In der letzten steht die Ausgangslage (Ich habe die Seiten vertauscht), in der vorletzten meine triviale Lösung. Dies führt durch Addition zur drittletzten Zeile. In der viertletzten Zeile wird auf beiden Seiten 2kac+2kbd addiert ,schließlich wird der Binomi angewendet.

Also so verschieden ist es nicht.

\(\begin{aligned} (k a + c)^2 + (k b + d)^2 &= (k c + a)^2 + (k d + b)^2, \quad k \in \mathbb Z \\ k^2a^2 + 2kac + c^2 + k^2b^2 + 2kbd + d^2 &=  k^2c^2 + 2kac + a^2 + k^2d^2 + 2kbd + b^2 &&|\,-2k(ac + bd)\\ k^2a^2 + c^2 + k^2b^2  + d^2 &=  k^2c^2  + a^2 + k^2d^2  + b^2 &&|\, -(a^2+b^2)\\ k^2a^2 + k^2b^2  &=  k^2c^2  + k^2d^2 &&|\ \div k^2\\ c^2 + d^2  &=  a^2  + b^2 \\ &\text{q.e.d.} \end{aligned}\)

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ich erkenne nicht, wo der Unterschied ist

Hallo Hogar,

es ist ist ja richtig, dass bei der Auflösung ein Zwischenergebnis erscheint, welches mit deiner Hypothese überein stimmt.

Betrachte doch bitte das Beispiel von Roland. Nach meiner Hypothese ist in diesem Beispiel \(k=10\).

Wenn Deine Hypothese auf diese Umwandlung auch zutrifft, wie groß ist dann in Deinem Fall das \(k\) bzw. \(k^2\) um von$$1^2 + 8^2 = 4^2 + 7^2 \quad = 65$$auf$$14^2+87^2 = 41^2 + 78^2 \quad = 7765$$ zu kommen? Zur Info: \(7765/65 \approx 119,46 \stackrel{?}{=} k^2\)

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.. noch was: durch schlichtes Vertauschen von \(c\) und \(d\) wird mit dem gleichen Faktor \(k=10\) aus $$1^2 + 8^2 = 7^2 + 4^2 \quad = 65 \\ \to 17^2 + 84^2 = 71^2 + 48^2 \quad = 7345$$

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Die Hypothese soll insbesondere das gegebene Beispiel wiedergeben.