Hallo Klaus,
Tatsächlich stehe ich hier auf dem Schlauch.
Du hast doch sicher schon vom Gauß'schen Algorithmus zum Lösen von linearen Gleichungssystemen gehört. Ich vertausche dazu die erste mit der zweiten Zeile und schreiben nur noch die Koeffizienten hin, verzichte also auf die \(x_i\) $$\begin{array}{cccc|c}1& 2& 3& 4& 0\\ 0& 1& 2& 3& 0\\ 2& 3& 4& 5& 0\\ 3& 4& 5& 6& 0\end{array}$$Das Vertauschen der ersten beiden Zeilen habe ich deshalb gemacht, um oben links einen Wert \(\ne 0\) stehen zu haben. Nun soll das System in die Stufenform gebracht werden.
Dazu ziehe ich das doppelten der 1.Zeile von der dritten und das Dreifache der ersten Zeile von der vierten Zeile ab:$$\begin{array}{cccc|c}1& 2& 3& 4& 0\\ 0& 1& 2& 3& 0\\ 0& -1& -2& -3& 0\\ 0& -2& -4& -6& 0\end{array}$$Nun addiere ich die zweite Zeile zur dritten und das Doppelte der zweiten Zeile zur vierten. Dann noch das Doppelte der zweiten Zeile von der ersten abziehen. Das Ziel ist, dass überall in der zweiten Spalte \(0\)'en auftauchen:$$\begin{array}{cccc|c}1& 0& -1& -2& 0\\ 0& 1& 2& 3& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}$$wie Du siehst stehen in der dritten und vierten Zeile nur noch \(0\)'en. D.h. diese Gleichungen sind nun unabhängig von der Wahl der Unbekannten \(x_i\) immer erfüllt.
Es verbleiben zwei Gleichungen mit vier Unbekannten. Folglich kann ich zwei der Unbekannten frei wählen. Ich setze \(x_3=r\) und \(x_4=s\). Dann ergibt sich für \(x_1\) und \(x_2\)$$ x_1 -r -2s = 0 \implies x_1 = r + 2s \\ x_2 + 2r + 3s = 0 \implies x_2 = -2r - 3s $$Das alles noch mal sauber hinschreiben:$$\begin{aligned} x_1 &= r + 2s \\ x_2 &= -2r - 3s \\ x_3 &= r\\ x_4 &= s\end{aligned}$$und in Vektorschreibweise$$\vec x = \begin{pmatrix}1\\ -2\\ 1\\ 0\end{pmatrix}r + \begin{pmatrix}2\\ -3\\ 0\\ 1\end{pmatrix}s, \quad r,s \, \in \mathbb R$$online lösen lassen kann man sowas z.B. hier.
