Matrix von f , wenn man in der Basis F den Vektor

Question

Sei \( n \in \mathbb{N}_{>0} \) und \( f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n} \) eine gegebene lineare Abbildung. Es sei
\( A=\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & \ldots & a_{1 n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & \ldots & a_{n n} \end{array}\right) \)
die Matrix von \( f \) bezüglich einer Basis \( F=\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right) \) des \( \mathbb{R}^{n} \). Im Folgenden seien stets \( i, j \in\{1, \ldots, n\}, i \neq j \)

a) Wie ändert sich die Matrix von \( f \), wenn man in der Basis \( F \) den Vektor \( v_{j} \) durch \( \lambda v_{j} \) mit \( \lambda \neq 0 \) ersetzt? \( \quad \) (3 Punkte)

Wisst ihr, wie man das löst?

Answer 1

In der Spalte j der Matrix stehen ja die Faktoren, die man braucht um

das Bild von v_j also f(v_j) durch die benutzte Basis darzustellen.

Das bedeutet für die "alte" Basis F, dass z.B. für alle k ∈ {1,...,n} gilt

f(v_k) = a_1k*v₁ + a_2k*v₂ + ... + a_nk*v_n

Wenn nun v_j durch λv_j ersetzt wird, Ändert sich für k≠j an dieser

Summe nur der j-te Summand, da steht jetzt statt v_j ja λv_j , also

muss a_jk durch a_jk/λ (geht, da λ≠0 ) ersetzt werden.

Und weil das für alle k≠j geschieht, ändert sich in der

Matrix die ganze j-te Zeile  (außer dem Element a_jj )

entsprechend.

Für die j-te Spalte ist es aber so, dass dort ja nun

die Faktoren stehen , die man braucht um das Bild v

von λvj also f(λvj) = λf(vj) mit der "neuen" Basis darzustellen.

Vorher war das

f(vj) = a1j*vj + a2j*v2 + ... + anj*vn

und jetzt also   λf(vj) , also muss man alle

Faktoren mal λ nehmen, außer dem j-ten, denn

hinter dem stehet ja jetzt schon λvj.

Also zusammenfassend :

Die j-te Zeile wird durch λ dividiert und die

j-te Spalte mit λ multipliziert. Wenn man das

hintereinander macht, bleibt das Element a_jj gleich.