N-te Einheitswurzeln zeigen

Question

Hallo die Aufgabe befindet sich im Anhang.

Ich weiß nicht genau wie ich das zeigen soll, in der Aufgabe steht bereits das k < l ist und somit ist ja klar das es dann nicht gleich sein kann.

Text erkannt:

(2) Es sei \( n \in \mathbb{N} \) sowie \( \zeta_{n}=e^{\frac{2 \pi i}{n}} \) eine \( n \) -te Einheitswurzel.
(a) Zeigen Sie, dass gilt \( \zeta_{n}^{k} \neq \zeta_{n}^{\ell} \) für \( 0 \leq k<\ell<n \).

Comments

Tipp

L = K + m

und dann umformen (?)

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Woher weiß ich das L = K + i  ist ?

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Sorry. i war keine gute Bezeichnung. Ich habe jetzt m genommen. Welche Werte kann m annehmen.

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also m muss ja dann auch kleiner als L sein. Aber welche Werte es genau annimmt weiß ich nicht.

Answer 1

Hallo,

es gilt

\(\zeta_n^k - \zeta_n^l =e^{2 \pi i\frac{k}{n}}-e^{2 \pi i\frac{l}{n}}=e^{2 \pi i\frac{k}{n}}[1-e^{2 \pi i\frac{l-k}{n}}] \neq 0 \)

Das Ungleichheitszeichen gilt, da beide Faktoren ungleich 0 sind. Lu hat dir ja schon dezent den Hinweis gegeben, dass \(0<(l-k)<n\) ;) .