Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (%), dass der monatliche Niederschlag in der Vegetationsperiode zwischen 40 mm …

Question

Aufgabe:

In einer Region in der Ukraine (nach dem Klimaklassifikationssystem von KÖPPEN/GEIGER herrscht dort ein trockenkaltes Steppenklima) sind für den Niederschlag auf der Basis langjähriger Messreihen während der Zeit der Vegetationsperiode die folgenden Parameter ermittelt worden:
Der mittlere monatliche Niederschlag in der Vegetationsperiode beträgt 50 mm mit einer Standardabweichung von 20 mm. Vor dem Hintergrund dieser Zahlen interessiert für eine landwirtschaftliche Inwertsetzung insbesondere die Frage, ob diese Region dürregefährdet ist (wobei davon ausgegangen wird, dass die monatlichen Niederschlagswerte langfristig mit den angegebenen Werten normalverteilt sind).
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (%), dass der monatliche Niederschlag in der Vegetationsperiode zwischen 40 mm und 70 mm liegt?

Comments

ist etwa gleich 53 %

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge...

Wir haben hier eine Normalverteilung mit:$$\text{Mittelwert } \mu=50\quad;\quad\text{Standardabweichung }\sigma=20$$Die Wahrscheinlichkeit, dass die Regenmenge zwischen 40 und 70mm liegt beträgt:$$P(40\le\text{Regen}\le70)=P(\text{Regen}\le70)-P(\text{Regen}<40)$$Diese berechnen wir mittels Noramlisierung:

$$P(40\le\text{Regen}\le70)=\phi\left(\frac{70-50}{20}\right)-\phi\left(\frac{40-50}{20}\right)=\phi(1)-\phi(-0,5)$$$$\phantom{P(40\le\text{Regen}\le70)}=0,841345-0,308538=0,532807\approx53,28\%$$

Comments

Welcher Niederschlagswert wird in 90 von 100 Monaten der Vegetationsperiode nicht unterschritten?

wie würde man umgekehrt vorgehen ?

24,3?

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$$P(\text{Regen}\ge x)=0,9$$$$P(\text{Regen}< x)=1-0,9=0,1$$$$\phi\left(\frac{x-50}{20}\right)=0,1$$Jetzt brauchst du die Umkehrfunktion \(\phi^{-1}\) zur Standardnormalverteilung. In Excel heißt die "standnorminv":$$\frac{x-50}{20}=\phi^{-1}(0,1)=-1,281552$$$$x=-1,281552\cdot20+50\approx24,3690$$Passt bis auf die Rundung mit deinem Ergebnis zusammen ;)