Grenzwerte nach l'Hopitalsche Regel bestimmen

Question

Folgende 3 Grenzwerte sollen mithilfe der l'hopitalschen Regel gelöst werden. Ich habe ein Lösungsvorschlag zu c).

a) \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin (x)}{x} \)

b) \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x}}{x} \)

c) \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty}(x \ln x) \)

Vorschlag: c)

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0}(x \ln x)=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^{2}}}=\lim \limits_{x \rightarrow 0}(-x)=0 \)

Answer 1

Hi,

a)

lim sin(x)/x = l'H = lim cos(x)/1 = 1

b)

lim e^x/x = l'H = lim e^x/1 = ∞

c) Hier hast Du Dich verschrieben (bei der Aufgabenstellung). Die Rechnung ist sonst aber völlig richtig.

Bei Deinem Heftaufschrieb empfehle ich Dir über dem Gleichheitszeichen vor der Anwendung des l'Hospital eine entsprechende Bemerkung zu machen (wie bei mir oben, kann aber gerne über dem Gleichheitszeichen stehen).
Dir ist ja klar, wann l'Hospital nur angewendet werden darf...

Grüße

Comments

Hallo Unknown,

vielen Dank für deine schnelle Unterstützung! Ich habe mich bei c) verschrieben, nicht 0 sondern ∞. Ja, man muss beachten, dass nicht 0/0 oder ∞/∞ steht.

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Bei c) vermute ich eher das Gegenteil?? Siehe obige Bemerkung meinerseits. Aber ja für lim x->∞ wäre auch der Grenzwert ∞.

Im Gegenteil. Genau das muss der Fall sein^^. Ich vermute aber, dass Dir das "nicht" nur reingerutscht ist ;).

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Ich habe nochmal nachgeschaut und festgestellt, dass die Aufgabe c) wie folgt lautet:

c) \( \lim \limits_{x \rightarrow 0}=(x \ln x)=l^{\prime} H=0 \)

Also, war es doch so richtig gewesen. Das ∞-Zeichen war der Übeltäter, er hat in der Aufgabe c) die 0 weggekickt ;).