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Ein Turm hat die Form eines Quaders mit aufgesetzter Pyramide. Die Eckpunkte des Quaders sind A(2|0|0), B(0|2|0), C(-2|0|0), D(0|-2|0), E(2|0|6), F(0|2|6), G(-2|0|6) und H(0|-2|6). Die Spitze des Turms liegt in S(0|0|12) (1 LE entspricht 1m).

a) Zeichnen Sie den Turm in ein Koordinatensystem ein. Vielleicht kann einer das Zeichnen und mir dann den Link oder ein Bild davon schicken?

b) Sonnenstrahlen fallen auf den Turm mit dem Richtungsvektor v=(5|2|-3). Bestimmen Sie den Schattenpunkt der Turmspitze auf der x1x2-Ebene.

c) Nachts wird der Turm von einem Scheinwerfer angestrahlt, dessen Zentrum in L(-1|-4|18) liegt. Bestimmen Sie den Schattenpunkt der Turmspitze auf der x1x2-Ebene.

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Hallo,

Vielleicht kann einer das Zeichnen und mir dann den Link oder ein Bild davon schicken?

Du solltest es selber versuchen, das übt. (Wirklich!)

blob.png

(klick auf das Bild)

Sonnenstrahlen fallen auf den Turm mit dem Richtungsvektor v=(5|2|-3). Bestimmen Sie den Schattenpunkt der Turmspitze auf der x1x2-Ebene.

Gesucht ist der Punkt, in dem die Gerade gg durch SS in Richtung von vv die zz-Koordinate 00 annimmt.g : x=S+vt=(0012)+(523)tg: \quad \vec x = S + \vec v \cdot t = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 12\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}5\\ 2\\ -3\end{pmatrix} tSetzt man die zz-Koordinate von x\vec x zu 00, so folgt daraus0=123t    t=40 = 12 - 3t \implies t = 4Also liegt der Schattenpunkt SS' bei S=x(4)=(0012)+(523)4=(2080)S' = \vec x(4) = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 12\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}5\\ 2\\ -3\end{pmatrix} \cdot 4= \begin{pmatrix}20\\ 8\\ 0\end{pmatrix}

Nachts wird der Turm von einem Scheinwerfer angestrahlt, dessen Zentrum in L(-1|-4|18) liegt. Bestimmen Sie den Schattenpunkt der Turmspitze auf der x1x2-Ebene.

Ist die gleiche Rechnung, nur das v\vec v nunv=SL=(0012)(1418)\vec v = S - L = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 12\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-1\\ -4\\ 18\end{pmatrix}Das Ergebnis kannst Du oben aus dem Bild ablesen. Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

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Also Aufgabe b) habe ich selber geschafft.

Aber warum rechnest du:

 v=SL=(0012)(1418)v = S - L = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 12\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-1\\ -4\\ 18\end{pmatrix}

?

Aber warum rechnest du:
 v=SL=(0012)(1418)\vec v = S - L = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 12\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-1\\ -4\\ 18\end{pmatrix}

Schau Dir das Bild an. Der Scheinwerfer steht an der Position LL und beleuchtet die Spitze SS. Der Lichtstrahl, der (nachts) den Schatten der Spitze markiert, geht also durch LL und SS ... und auch in Richtung SS, aber das ist hier egal.

Also ist die Richtung v2=SL\vec v_2 = S - L.

Die Gleichung der Geraden bleibt im Prinzip die gleiche:g2 : x=S+v2tg_2: \quad \vec x = S + \vec v_2 \cdot tund der Rest geht wie oben.


... vielleicht verwirrt es Dich, dass ich nicht x=L+v2t\vec x = L + \vec v_2\cdot t bzw. x=L+(SL)t\vec x = L + (S-L)t geschrieben habe. Das wäre auch richtig. Der Punkt vorn, also SS oder LL, muss nur auf der Geraden liegen. Aber es ist immer dieselbe Gerade.

Also muss ich jetzt S 0 0 12 + S-L * t 5 2 -3 rechnen?

Also muss ich jetzt S 0 0 12 + S-L * t 5 2 -3 rechnen?

Mit diesem Ausdruck kann ich nichts anfangen, da hast Du was durcheinander geworfen. Eine mögliche Form für die Gerade g2g_2:g2 : x=S+(SL)t=(0012)+(146)tg_2:\quad \vec x = S + (S-L) t = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 12\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\\ 4\\ -6\end{pmatrix}tFür den Fall, dass z=0z=0 ist, ist t=2t=2 und x(t=2)=(280)\vec x(t=2) = \begin{pmatrix}2\\ 8\\ 0\end{pmatrix}der nächtliche Schattenpunkt der Spitze, durch das Scheinwerferlicht.

Achtung: ich hatte gerade bemerkt, dass ich den Turm versehentlich um 45° gedreht gezeichnet hatte. Das habe ich korrigiert! (s. Antwort) ... dafür jetzt auch mit Schatten ;-)

An der Rechnung ändert sich rein gar nichts, da SS vorher und nachher an der identischen Position steht.

Also rechnet man für t= S-L?

Also rechnet man für t= S-L?

Das ist Unsinn! SS und LL sind Punkte, also quasi Vektoren mit jeweils drei Koordinaten im Raum. Und tt ist ein Skalar, also eine Zahl. Da kann nie ein Gleichheitszeichen dazwischen auftauchen!

Die Geradengleichung in Parameterform für den nächtlichen Lichtstrahl sei diese: g2 : x=(xyz)=S+(SL)t=(0012)+(146)tg_2:\quad \vec x= \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} = S + (S-L) t = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 12\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\\ 4\\ -6\end{pmatrix}tdas sind drei Gleichungenx=0+ty=0+4tz=126tx = 0 + t\\ y = 0 + 4t \\ z = 12 - 6tDies ist nur eine andere Schreibweise für das was oben steht, bedeutet aber das gleiche. Der Schattenpunkt SLS_L' befindet sich auf auf dem Boden, d.h. in der x1x2x_1x_2-Ebene. Also MUSS seine zz-Koordinate =0=0 sein. Demnach lautet die dritte Gleichungz=0=126tz=0 = 12 - 6t und die ist genau dann erfüllt, wenn t=2t=2 ist. Die 'Rechung' - von der Du wiederholt schreibst - ist t=12/(6)t= -12/(-6). Mit diesem tt berechnet man nun die Koordinaten für xx und yy in der Geradengleichung von g2g_2:x=0+2=2y=0+42=8z=1262=0x = 0 + 2 = 2\\ y = 0 + 4\cdot 2 = 8 \\ z =12 - 6 \cdot 2= 0Also ist der SchattenpunktSL=(280)S_L' = \begin{pmatrix}2\\ 8\\ 0\end{pmatrix}

So langsam verstehe ich es. Ich schreibe jetzt nochmal die Rechnung auf.

Jetzt kommen noch zwei Aufgaben dazu

d) Stelle die Ebenegleichung zur Ebene durch die Punkte E F S in Paramterform auf.
e) Bestimme rechnerisch den Normalenvektor zur Ebene aus d) mit beiden Verfahren.

Ich habe jetzt bei d) E : x(206)+r(220)+s(206)E:\vec x \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 6 \end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 6 \end{array}\right)

Wie mache ich das bei e)?

Ich habe jetzt bei d) E :  x=(206)+r(220)+s(206)E:\space \vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} +r\left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 6 \end{array}\right)

Das ist falsch. Bei sowas hilft es, sich das räumlich vorzustellen:

blob.png

die hellblaue Fläche ist die Ebene oben. FF und SS liegen nicht in dieser Ebene. Prüfe die Richtungsvektoren!

Warum ist das falsch? Wie würdest du das rechnen?

Warum ist das falsch?

Also ganz im Ernst: wenn Du das auf dem Bild nicht siehst, dann kann ich Dir auch nicht mehr helfen ;-)

Wie würdest du das rechnen?

Ich würde rechnen:EEFS : x=E+r(FE)+s(SE)E_{EFS}: \quad \vec x = E + r(F-E) + s(S-E)

Klar kann ich das sehen! Ich sehe meinen Rechenfehler.

Ich habe jetzt bei d) E :  x=(206)+r(220)+s(206)E:\space \vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} +r\left(\begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 6 \end{array}\right)

Ich habe jetzt bei d) ...

Das sieht gut aus:

blob.png

e) Bestimme rechnerisch den Normalenvektor zur Ebene aus d) mit beiden Verfahren

Bleibt die Frage, was mit "beiden Verfahren" gemeint ist! Das Kreuzprodukt ist sicher dabei. Folglich ist ein Normalenvektor n\vec nn=(220)×(206)=(12124)\vec n = \begin{pmatrix}-2\\ 2\\ 0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-2\\ 0\\ 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}12\\ 12\\ 4\end{pmatrix}siehe hier oder auch beim Matheretter.

Und was ist denn mit dem anderen Verfahren gemeint?

Ich habe die Aufgabe selber gelöst. Es war noch über das Skalarprodukt.

Wieso nimmt man E:x = OS + LS und nicht E:x= OL + LS?

Man nimmt weder das eine noch das andere.

Wo sind die Parameter geblieben?

Ich meinte E:x = OS + r LS bzw E:x = OL + r SL

Das wären immer noch nur Geraden, keine Ebenen.

Wenn es um Geraden ginge, wären das zwei Darstellungen derselben Geraden, sie unterscheiden sich nur durch den Aufpunkt, einmal S und einmal L, beiden liegen aber auf der Geraden und daher sind beide Darstellungen (und unendlich viele andere) korrekt.

Aber da käme dann die falsche Länge raus bzw. falsches Ergebnis

Sicher nicht.

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Hallo

a) Ne, Punkte eintragen und verbinden musst du schon selbst, sonst verpfuschen wir deine nächste Klausur!

aber Geoknecht 3d kannst du ja zur Kontrolle benutzen. (hier am rechten Rand zu finden)

b) Gerade durch S mit dem Richtungsvektor v mit der x3=0 Ebene schneiden

c) dasselbe mit  Richtungsvektor LS

Gruß lul

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Also auf dem Blatt kann ich das Zeichnen aber ich würde halt gerne eine 3d Grafik davon haben.

Wie fange ich den bei b) an?

Hallo

jede Zeichnung ist auf einem Blatt, was meinst du also? und warum nicht den Geoknecht oder geogebra 3d?

2. Geradengleichungen sind doch durch einen Punkt und einen Richtungsvektor gegeben? damit musst du anfangen, aber das hatte ich schon gesagt?

lul

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