Bestimmen Sie den Schattenpunkt der Turmspitze auf der x1x2-Ebene.

Question

Ein Turm hat die Form eines Quaders mit aufgesetzter Pyramide. Die Eckpunkte des Quaders sind A(2|0|0), B(0|2|0), C(-2|0|0), D(0|-2|0), E(2|0|6), F(0|2|6), G(-2|0|6) und H(0|-2|6). Die Spitze des Turms liegt in S(0|0|12) (1 LE entspricht 1m).

a) Zeichnen Sie den Turm in ein Koordinatensystem ein. Vielleicht kann einer das Zeichnen und mir dann den Link oder ein Bild davon schicken?

b) Sonnenstrahlen fallen auf den Turm mit dem Richtungsvektor v=(5|2|-3). Bestimmen Sie den Schattenpunkt der Turmspitze auf der x1x2-Ebene.

c) Nachts wird der Turm von einem Scheinwerfer angestrahlt, dessen Zentrum in L(-1|-4|18) liegt. Bestimmen Sie den Schattenpunkt der Turmspitze auf der x1x2-Ebene.

Answer 1

Hallo,

Vielleicht kann einer das Zeichnen und mir dann den Link oder ein Bild davon schicken?

Du solltest es selber versuchen, das übt. (Wirklich!)

(klick auf das Bild)

Sonnenstrahlen fallen auf den Turm mit dem Richtungsvektor v=(5|2|-3). Bestimmen Sie den Schattenpunkt der Turmspitze auf der x1x2-Ebene.

Gesucht ist der Punkt, in dem die Gerade \(g\) durch \(S\) in Richtung von \(v\) die \(z\)-Koordinate \(0\) annimmt.$$g: \quad \vec x = S + \vec v \cdot t = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 12\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}5\\ 2\\ -3\end{pmatrix} t$$Setzt man die \(z\)-Koordinate von \(\vec x\) zu \(0\), so folgt daraus$$0 = 12 - 3t \implies t = 4$$Also liegt der Schattenpunkt \(S'\) bei $$S' = \vec x(4) = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 12\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}5\\ 2\\ -3\end{pmatrix} \cdot 4= \begin{pmatrix}20\\ 8\\ 0\end{pmatrix}$$

Nachts wird der Turm von einem Scheinwerfer angestrahlt, dessen Zentrum in L(-1|-4|18) liegt. Bestimmen Sie den Schattenpunkt der Turmspitze auf der x1x2-Ebene.

Ist die gleiche Rechnung, nur das \(\vec v\) nun$$\vec v = S - L = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 12\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-1\\ -4\\ 18\end{pmatrix}$$Das Ergebnis kannst Du oben aus dem Bild ablesen. Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Comments

Also Aufgabe b) habe ich selber geschafft.

Aber warum rechnest du:

 \(v = S - L = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 12\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-1\\ -4\\ 18\end{pmatrix}\)

?

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Aber warum rechnest du:
 \(\vec v = S - L = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 12\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-1\\ -4\\ 18\end{pmatrix}\)

Schau Dir das Bild an. Der Scheinwerfer steht an der Position \(L\) und beleuchtet die Spitze \(S\). Der Lichtstrahl, der (nachts) den Schatten der Spitze markiert, geht also durch \(L\) und \(S\) ... und auch in Richtung \(S\), aber das ist hier egal.

Also ist die Richtung \(\vec v_2 = S - L\).

Die Gleichung der Geraden bleibt im Prinzip die gleiche:$$g_2: \quad \vec x = S + \vec v_2 \cdot t$$und der Rest geht wie oben.

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... vielleicht verwirrt es Dich, dass ich nicht \(\vec x = L + \vec v_2\cdot t\) bzw. \(\vec x = L + (S-L)t\) geschrieben habe. Das wäre auch richtig. Der Punkt vorn, also \(S\) oder \(L\), muss nur auf der Geraden liegen. Aber es ist immer dieselbe Gerade.

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Also muss ich jetzt S 0 0 12 + S-L * t 5 2 -3 rechnen?

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Also muss ich jetzt S 0 0 12 + S-L * t 5 2 -3 rechnen?

Mit diesem Ausdruck kann ich nichts anfangen, da hast Du was durcheinander geworfen. Eine mögliche Form für die Gerade \(g_2\):$$g_2:\quad \vec x = S + (S-L) t = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 12\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\\ 4\\ -6\end{pmatrix}t$$Für den Fall, dass \(z=0\) ist, ist \(t=2\) und $$\vec x(t=2) = \begin{pmatrix}2\\ 8\\ 0\end{pmatrix}$$der nächtliche Schattenpunkt der Spitze, durch das Scheinwerferlicht.

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Achtung: ich hatte gerade bemerkt, dass ich den Turm versehentlich um 45° gedreht gezeichnet hatte. Das habe ich korrigiert! (s. Antwort) ... dafür jetzt auch mit Schatten ;-)

An der Rechnung ändert sich rein gar nichts, da \(S\) vorher und nachher an der identischen Position steht.

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Also rechnet man für t= S-L?

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Also rechnet man für t= S-L?

Das ist Unsinn! \(S\) und \(L\) sind Punkte, also quasi Vektoren mit jeweils drei Koordinaten im Raum. Und \(t\) ist ein Skalar, also eine Zahl. Da kann nie ein Gleichheitszeichen dazwischen auftauchen!

Die Geradengleichung in Parameterform für den nächtlichen Lichtstrahl sei diese: $$g_2:\quad \vec x= \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} = S + (S-L) t = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 12\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\\ 4\\ -6\end{pmatrix}t$$das sind drei Gleichungen$$x = 0 + t\\ y = 0 + 4t \\ z = 12 - 6t$$Dies ist nur eine andere Schreibweise für das was oben steht, bedeutet aber das gleiche. Der Schattenpunkt \(S_L'\) befindet sich auf auf dem Boden, d.h. in der \(x_1x_2\)-Ebene. Also MUSS seine \(z\)-Koordinate \(=0\) sein. Demnach lautet die dritte Gleichung$$z=0 = 12 - 6t$$ und die ist genau dann erfüllt, wenn \(t=2\) ist. Die 'Rechung' - von der Du wiederholt schreibst - ist \(t= -12/(-6)\). Mit diesem \(t\) berechnet man nun die Koordinaten für \(x\) und \(y\) in der Geradengleichung von \(g_2\):$$x = 0 + 2 = 2\\ y = 0 + 4\cdot 2 = 8 \\ z =12 - 6 \cdot 2= 0$$Also ist der Schattenpunkt$$S_L' = \begin{pmatrix}2\\ 8\\ 0\end{pmatrix}$$

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So langsam verstehe ich es. Ich schreibe jetzt nochmal die Rechnung auf.

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Jetzt kommen noch zwei Aufgaben dazu

d) Stelle die Ebenegleichung zur Ebene durch die Punkte E F S in Paramterform auf.
e) Bestimme rechnerisch den Normalenvektor zur Ebene aus d) mit beiden Verfahren.

Ich habe jetzt bei d) \(E:\vec x \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 6 \end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 6 \end{array}\right) \)

Wie mache ich das bei e)?

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Ich habe jetzt bei d) \(E:\space \vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} +r\left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 6 \end{array}\right) \)

Das ist falsch. Bei sowas hilft es, sich das räumlich vorzustellen:

die hellblaue Fläche ist die Ebene oben. \(F\) und \(S\) liegen nicht in dieser Ebene. Prüfe die Richtungsvektoren!

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Warum ist das falsch? Wie würdest du das rechnen?

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Warum ist das falsch?

Also ganz im Ernst: wenn Du das auf dem Bild nicht siehst, dann kann ich Dir auch nicht mehr helfen ;-)

Wie würdest du das rechnen?

Ich würde rechnen:$$E_{EFS}: \quad \vec x = E + r(F-E) + s(S-E)$$

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Klar kann ich das sehen! Ich sehe meinen Rechenfehler.

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Ich habe jetzt bei d) \(E:\space \vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} +r\left(\begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 6 \end{array}\right) \)

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Ich habe jetzt bei d) ...

Das sieht gut aus:

e) Bestimme rechnerisch den Normalenvektor zur Ebene aus d) mit beiden Verfahren

Bleibt die Frage, was mit "beiden Verfahren" gemeint ist! Das Kreuzprodukt ist sicher dabei. Folglich ist ein Normalenvektor \(\vec n\)$$\vec n = \begin{pmatrix}-2\\ 2\\ 0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-2\\ 0\\ 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}12\\ 12\\ 4\end{pmatrix}$$siehe hier oder auch beim Matheretter.

Und was ist denn mit dem anderen Verfahren gemeint?

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Ich habe die Aufgabe selber gelöst. Es war noch über das Skalarprodukt.

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Wieso nimmt man E:x = OS + LS und nicht E:x= OL + LS?

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Man nimmt weder das eine noch das andere.

Wo sind die Parameter geblieben?

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Ich meinte E:x = OS + r LS bzw E:x = OL + r SL

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Das wären immer noch nur Geraden, keine Ebenen.

Wenn es um Geraden ginge, wären das zwei Darstellungen derselben Geraden, sie unterscheiden sich nur durch den Aufpunkt, einmal S und einmal L, beiden liegen aber auf der Geraden und daher sind beide Darstellungen (und unendlich viele andere) korrekt.

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Aber da käme dann die falsche Länge raus bzw. falsches Ergebnis

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Sicher nicht.

Answer 2

Hallo

a) Ne, Punkte eintragen und verbinden musst du schon selbst, sonst verpfuschen wir deine nächste Klausur!

aber Geoknecht 3d kannst du ja zur Kontrolle benutzen. (hier am rechten Rand zu finden)

b) Gerade durch S mit dem Richtungsvektor v mit der x3=0 Ebene schneiden

c) dasselbe mit  Richtungsvektor LS

Gruß lul

Comments

Also auf dem Blatt kann ich das Zeichnen aber ich würde halt gerne eine 3d Grafik davon haben.

Wie fange ich den bei b) an?

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Hallo

jede Zeichnung ist auf einem Blatt, was meinst du also? und warum nicht den Geoknecht oder geogebra 3d?

2. Geradengleichungen sind doch durch einen Punkt und einen Richtungsvektor gegeben? damit musst du anfangen, aber das hatte ich schon gesagt?

lul