Aufgabe
Hallo Ihr Lieben,
ich sitze gerade an einer Aufgabe der linearen Algebra und komme nicht weiter :(
Wie darf ich "Spur" verstehen? Hat das jemand mal gemacht? Und wie sind die beiden Aufgabenteile zu lösen?
LG, Melina :)
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Aufgabe 13.4 Sei \( A=\left(a_{i j}\right) \) eine quadratische \( n \times n \) Matrix. Dann heißt die Summe der Diagonalelemente Spur von A. In Zeichen
$$ \operatorname{sp}(A)=\sum \limits_{i=1}^{n} a_{i i} $$
1. Zeigen Sie:
(a) sp : \( \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) \longrightarrow \mathbb{K} \) ist eine lineare Abbildung.
(b) \( \operatorname{sp}(A B)=\operatorname{sp}(B A) . \) Insbesondere ist \( \operatorname{sp}\left(B^{-1} A B\right)=\operatorname{sp}(A), \) für \( B \)
invertierbar.
2. Beweisen oder widerlegen Sie:
(a) \( \operatorname{sp}(A+B)=\operatorname{sp}(A)+\operatorname{sp}(B) \)
(b) \( \operatorname{sp}(A B)=\operatorname{sp}(A) \operatorname{sp}(B) \)
