500 Pers, jede lädt pro Woche 2 weitere ein - wann habe ich mehr als 8,3 Millionen?

Question

Aufgabe:

Max hat eine FB Gruppe von 500 Personen. Jede Person lädt pro Woche 2 weitere ein, und die sagen auch alle zu, usw.

Wie lange dauert es, bis

a)8,3 Millionen in der Gruppe sind

b)8 Milliarden in der Gruppe sind

c) Wie berechnet man das allgemein?

Problem/Ansatz:

Zuerst wollte ich das ganze wie das "Schachbrett-Reiskorn" Problem lösen.

1. Feld = 1, 2. Feld = 2, 3. Feld = 4....     64.Feld =  2^64-1 +1

Gesamtanzahl Körner wären, laut Wikipedia,  2⁶³⁺¹-1 (das verstehe ich schon nicht so ganz, aber das kann ich nachlesen, sofern es überhaupt stimmt, habe jetzt schon 5 versch. Lösungen gesehen und selbst in der Schule was anderes gelernt, soweit es mir ist)

Jetzt aber zu meiner Aufgabe:

So sieht es aus, wenn ich es von Hand ausrechne:

(w0=500, w1=1500, w2=5000, w3=17'000...)

Jetzt habe ich versucht, das zu verallgemeinern, aber da stehe ich auf dem Schlauch:

((Anz.Mitgl.Woche n-1) *3) + (500 * ????)

Ich hoffe, jemand kann mir helfen. Wichtig oder dringend ist es nicht, es interessiert mich einfach.

Viele liebe Grüsse

Comments

Die von Hand ausgerechneten Werte haben paar Fehler: w2=4500, w3=13500...

Dann stimmt deine Verallgemeinerung auch ohne "(500 * ??)" :)

Und wenn f(n) = Anzahl Mitglieder in der n.ten Woche sind, und f(n) = f(n-1)*3 ist.

Du am Anfang 500 hast, also f(0) = 500, dann wäre f(1)= f(0) * 3 = 500*3

f(2)=f(1) * 3 = (f(0) * 3) * 3 = f(0) * 3^2

f(3)=f(2) * 3 = (f(1) * 3) * 3= ((f(0) * 3) * 3) * 3 = f(0) * 3^3

Also insgesamt hast du f(n)=500* 3^n

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Herzlichen Dank für die prompte Antwort.

Es wäre genial einfach, wenn es so stimmen würde.

Aber nach mir wäre schon f(2) etwas anderes...

f(2)= f(1)*2   +  f(1) + f(0)

f(2)= f(1)*3 + f(0)

f(2)=f(0)*3² + f(0)

Liege ich denn da falsch? Muss ich die vorhergehenden Resultate nicht auch dazuzählen?

Die laden ja auch wieder ein...?

Uff, sorry vielmals, vielleicht steh ich einfach irgendwo auf dem Schlauch.

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Ich habe es nochmal von Hand versucht, um es einfach zu erklären.

Wo liegt mein Denkfehler? Sie zählen also die vergangenen Resultate nicht zu den Mitgliedern dazu?

w0                                  =500
w1                                  =500*2 +500= 1500   
w2                                  =1500*2 +1500 + 500= 5000
w3                                  =5000*2 + 5000 +1500 + 500=15'500
w4                                  =15'500*2 +15'500 + 5000 + 1500 + 500= 53'500

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Du hast am Anfang 500 Personen die je 2 einladen. Also 500 + 500*2, sind also ingesamt 1500 (=f(1)). Dieses f(1) beinhaltet also die 500 Leute die am Anfang eingeladen haben, das heißt wenn du f(2)=f(1)*2 + f(1) rechnest, dann sind in f(1) doch schon alle Leute, welche einladen.

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Ja, das leuchtet mir jetzt ein. Dann stimmt also Deine erste Gleichung 500*3ⁿ

Herzlichen Dank für die schnelle und einleuchtende Antwort.

Answer 1

a) 500*2^n= 8,3*10^6

2^n = 8,3*10^6/500 = 16600

n= ln16600/ln2 = 14 Wochen

b) analog

c) f(n) = 500*2^n

Comments

Müsste wohl eher f(n) = 500 *3^n sein.

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Herzlichen Dank an beide Beantworter

Zu Gast 2016

Nach mir stimmt das nicht, denn 500*2n gibt doch nur die Anzahl Neumitglieder der n-ten Woche 3...? Das stimmt schon in Woche 1 nicht, denn in Woche 1 habe ich ja bereits 1500 Mitglieder, nicht 1000.   (Das war übrigens genau meine allererste falsche Lösung)