Komplexe Zahlen berechnen und zeichnen

Question

ich habe Aufgaben zu Komplexen Zahlen erhalten. Die Aufgabe lautet:

Berechnen Sie die Summe (z₁+z₂), die Differenz (z₁−z₂) und das Produkt (z₁·z₂) der komplexen Zahlen z₁=1+i und z₂ =−2−i. Wie lauten die zu z₁ und z₂ konjugiert komplexen Zahlen ¯z₁ und¯z₂? Tragen Sie anschließend z_1, z₂ und alle Ergebnisse in die Gaußsche Zahlenebene ein.

Lösungsvorschlag:
1·i=i
0·i=0
i·i=-1

i=√-1

(z₁+z₂)
(z₁-z₂)
(z₁·z₂)

z₁=1+i
z₂=-2+i

Bei Komplexen Zahlen ist √-1 erlaubt. Kann man die √-1 nicht als Wurzel 1 sehen, also wie bei normalen reellen Zahlen und kann so viel einfacher rechnen?

Summe:
((1+i)+(-2-i))
(1+√-1)+(-2-√-1)
2+(-3)=-1

Differenz:
((1+i)-(-2-i))
(1+√-1)-(-2-√-1)
2-(-3)=5

Produkt:
((1+i)·(-2-i))
(1+√-1)·(-2-√-1)
2·(-3)=-6

Geometrisch gesehen ist −z der Punkt der Gaußschen Zahlenebene, den man durch Punktspiegelung von z am Ursprung 0 erhält. Ordnet man jeder komplexen Zahl durch Achsenspiegelung an der reellen Achse eine neue Zahl ¯z zu, die die zu z konjugiert-komplexe Zahl ¯z genannt wird,¯z =x−iy

Einer Gleichung für komplexe Zahlen entsprechen zwei reelle Gleichungen, eine für die Realteile und eine für die Imaginärteile.

y-Achse: Im z
x-Achse: Re z





PS: Der Strich oben vor ¯z  müsste eigentlich über den Buchstaben z sein, ist aber nicht möglich einzugeben.

Comments

Wo ist jetzt deine Frage oder Problem?

Answer 1

"Kann man die √-1 nicht als Wurzel 1 sehen, also wie bei normalen reellen Zahlen und kann so viel einfacher rechnen?"


NEIN! Es gilt j = √-1  und j² = -1

Erst wenn du ein j² hast, kannst du es ersetzen mit einer -1.

Comments

Nein es gilt nicht generell j = √-1.

j^2 = -1 ist korrekt!

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Wie meinst du das? Bei uns wurde j so definiert in den komplexen Zahlen.

Bitte um Erläuterung.

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Ich meine diesen Satz der im Skript steht:
"Sie können i auch schlicht als bequeme Schreibweise oder Abkürzung für√−1 benutzen und dann so weiterrechnen, wie Sie das von den reellen Zahlen her gewohnt sind."

 

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Ich hoffe nicht. Die komplexe Zahl folgt der Definition i^2 = -1.

Es ergibt sich bei Deiner "Definition" folgendes Problem:

1 = √1 = √((-1)(-1)) = √(-1)√(-1) = i*i = -1

Das passt offensichtlich nicht (-> Zweideutigkeit der komplexen Quadratwurzel).

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Genau, i*i=i²=-1

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Unkown worauf beziehst du dich jetzt mit deiner Antwort? Die Aussage "Kann man die √-1 nicht als Wurzel 1 sehen" ist falsch.

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Vielleicht helfen diese Sätze uns weiter:

Summe: z₁+z₂ =(x₁+x₂ )+ i(y₁+y₂)

Differenz: z₁-z₂ =(x₁-x₂ )+ i(y₁-y₂)

Produkt: z₁·z₂ = (x₁ + iy₁ )·(x₂ + iy₂ )
=x₁·x₂+x₁·iy₂+iy₁·x₂+iy₁·iy₂
= x₁x₂−y₁y₂+i(x₁ y₂+x₂y₁) .



PS: Ich weiß, dass das oben von mir unglücklich formuliert wurde, was ich meinte, kann man i auch schlicht als bequeme Schreibweise oder Abkürzung für√−1 benutzen und dann so weiterrechnen, wie Sie das von den reellen Zahlen her gewohnt sind.

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Wenn du nach deiner Produktformel gehst, ist ja anscheinend deine Lösung:


Produkt:
((1+i)·(-2-i))
(1+√-1)·(-2-√-1)
2·(-3)=-6

falsch.

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Unkown worauf beziehst du dich jetzt mit deiner Antwort? Die Aussage "Kann man die √-1 nicht als Wurzel 1 sehen" ist falsch.

Jo, dagegen sag ich ja nix. Aber die Antwort von Dir (?) mit j = √-1 bereitet Kopfschmerzen.

Die komplexen Zahlen wurden eingeführt um die Problematik der Form

x^2 +1 = 0

zu lösen.

x^2 = -1

Nun haben wir eine doppelte Lösung. j = √-1 ist aber nicht die einzige Lösung diese Problematik.

Deswegen werden die komplexen Zahlen mit der Eigenschaft i^2 = -1 beschrieben.

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Ich weiß, alle Vorschläge sind falsch und der Grund ist simpel. Zum aller ersten Mal behandle ich solche Aufgaben. Die (-1) hat mich ein wenig verwirrt. Ich werde die Formeln noch mal neu eingeben.

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Ich habe ja auch nicht das Gegenteil behauptet, das was du schreibst, habe ich versucht in meiner Antwort darstellen.


Ich versteh nicht, was der Fragesteller nun von uns wissen möchte.

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@Anonym Ist doch klar. Ich wollte wissen ob, die Aufgaben korrekt sind. Da, aber alles falsch ist, muss ich nochmal von vorn anfangen und die Summe, Differenz sowie das Produkt bilden. Dann die konjugierten komplexen Zahlen bilden und schließlich die graphische Darstellung in die Gaußsche Zahlenebene machen. Steht übrigens alles oben Übersichtlich da.

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Hi robbie,

mach dir keinen stress. ist halt alles neu für dich und mit etwas geduld schaffst du das! achja an den anonymen kommentator der zwischendurch geschrieben hat. die aufgabe hat robbie oben aufgeführt und wenn ich selber keinen plan habe, dann bin ich ruhig und überlasse es profis. ich werde nachher mal überprüfen ob deine lösungen korrekt sind

gruß ali

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Hi Ali,

Alles klar! Ich werde es versuchen. :)

 

 

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Gut, neuer Versuch:

Summe:
(1+i)+(-2-i)
-1+0=-1

Differenz:
(1+i)-(-2-i)
=4+2i

Produkt:
(1+i)*(-2-i)
-2-1i+(-2i-i²)=-1-3i

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hi robbie,

das sieht doch schon viel besser aus! weiter so :-) tschakka

ali

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Bei der Differenz ist ein Tippfehler im Ergebnis.

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Hi Ali,

mal muss es auch klappen ;) Jetzt fehlen nur noch 2 Teilaufgaben! Ich weiß jetzt, dass man z.B. 3+2i als Vektor schreiben kann. 3 entspricht die x-Achse und 2i die y-Achse. Statt x und y schreibt man Re z und Im z.



PS: Statt 4 kommt eine 3 bei der Differenz hin, Danke für den Tipp!

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Hier ist die Skizze:
Ich habe die 3 Ergebnisse eingezeichnet.
Bei der Summe kam -1 raus.
Bei der Differenz kam 3+2i raus.
Beim Produkt kam -1-3i raus.

Die konjugierten Formen sind blasser dargestellt (hellblau und orange). Die konjugierten Form erhält man durch Punktspiegelung von z am Ursprung 0. Gehen meine Ansätze in die richtige Richtung?

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Um es graphisch korrekt darzustellen, fehlen bei der Skizze noch die Bezeichnungen bzw. Achsenbeschriftungen, dabei entspricht die:

x-Achse Re z (Realteil von z)
y-Achse Im z (Imaginärteil von z)

Sind meine Aufgaben korrekt gelöst?

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Die lösung und Bildchen sind richtig. Das hier: "Die konjugierten Form erhält man durch Punktspiegelung von z am Ursprung 0." ist falsch. So erhält man die additiv Inversen. Die konjugierte zahl erhält man durch Achsenspiegelung an der x-Achse.

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Hi Anonym,

Okay, Vielen Dank für deine Unterstützung! Ich wünsche dir noch einen schönen Sonntag! :)