(B) Für welche k \in \mathbb{N}_{0} gilt (1-i)^{k} \in \mathbb{R}?

Question

(A) Bestimmen Sie \( (1-i)^{k} \) für \( k=0,1,2,3 \).
(B) Für welche \( k \in \mathbb{N}_{0} \) gilt \( (1-i)^{k} \in \mathbb{R} ? \)
Beweisen Sie Ihre Behauptung.

Answer 1

Aloha :)

$$(1-i)^0=1$$$$(1-i)^1=1-i$$$$(1-i)^2=1-2i+i^2=1-2i-1=-2i$$$$(1-i)^3=-2i(1-i)=-2i+2i^2=-2-2i$$

Allgemein verwenden wir Polarkoordinaten:$$(1-i)^n=\left(\sqrt2\,e^{i\,\arctan(\frac{-1}{1})}\right)^n=\left(\sqrt2\,e^{-i\pi/4}\right)^n=(\sqrt2)^n\cdot e^{-i\frac{n}{4}\pi}$$

Wegen \(e^{-i\,\frac{n}{4}\pi}=\cos\frac{n}{4}\pi-i\,\sin\frac{n}{4}\pi\) verschwindet der Imaginärteil, falls \(n\) durch \(4\) teilbar ist.

Also liefen alle Potenzen, die Vielfache von \(4\) sind, reelle Werte \((1-i)^n\).

Comments

@Tschakabumba also die Analysiszulassung an der Hochschule des Fragestellers solltest du so langsam haben :D