Berechnung eines Integrals ohne Substitutions-Methode

Question

allerseits :) 

Ich versuche gerade folgendes Integral zu lösen:

$$\int \limits_{-2}^{0,5} \frac{2x+1}{x-1}$$

Wir sollen das Integral OHNE die Substitutions-Methode berechnen. Weiß jemand vielleicht wie man das machen soll? Ich bin da tatsächlich etwas ratlos.

Danke euch für die Hilfe :)

Answer 1

Aloha :)

$$\int\limits_{-2}^{\frac{1}{2}}\frac{2x+1}{x-1}\,dx=\int\limits_{-2}^{\frac{1}{2}}\frac{2x-2+3}{x-1}\,dx=\int\limits_{-2}^{\frac{1}{2}}\left(\frac{2x-2}{x-1}+\frac{3}{x-1}\right)\,dx=\int\limits_{-2}^{\frac{1}{2}}\left(2+\frac{3}{x-1}\right)\,dx$$$$=\left[2x+3\ln|x-1|\right]_{-2}^{1/2}=\left(2\cdot\frac{1}{2}+3\ln\left|\frac{1}{2}-1\right|\right)-\left(2\cdot(-2)+3\ln\left|(-2)-1\right|\right)$$$$=1+3\ln\frac{1}{2}-\left(-4+3\ln3\right)=1-3\ln2+4-3\ln3=5-3(\ln2+\ln3)$$$$=5-3\ln6\approx-0,37528$$

Comments

Super, vielen Dank für die ausführliche Rechnung. Habe es auch soweit echt gut verstanden. Aber wie kommt man auf die Idee aus 2x+1 -> 2x-2+3 zu machen. Ist das eine bestimmte Methode oder muss man das einfach sehen?

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Das habe ich gemacht, um das \(x\) im Zähler loszuwerden und kürzen zu können. Normalerweise bringt man zwei Brüche auf den Hauptnenner, um sie addieren zu können. Ich habe hier einen Bruch in 2 Brüche zerlegt, sodass ich kürzen kann. Das ist ein Trick, der oft weiter hilft.

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Perfekt, danke dir. Wenn ich stattdessen aber die Fläche berechnen müsste, den der Graph mit der x-Achse umschließt, müsste ich ne Intervallteilung vornehmen, stimmts?

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Ja, bei der Flächenberechnung musst du beachten, dass eine Funktion oberhalb der \(x\)-Achse einen postiven Beitrag zum Integral liefert und unterhalb der \(x\)-Achse einen negativen Beitrag. Du müsstest daher von \(-2\) bis \(-\frac{1}{2}\) integrieren und dann nochmal von \(-\frac{1}{2}\) bis \(\frac{1}{2}\) integrieren und anschließend die Beträge beider Integrale addieren.

~plot~ (2x+1)/(x-1) ; x=1/2 ; x=-2 ; {-0,5|0} ; [[-3|1|-6|2]] ~plot~

Answer 2

Aber wie kommt man auf die Idee aus 2x+1 -> 2x-2+3 zu machen. Ist das eine bestimmte Methode oder muss man das einfach sehen?

Ich persönlich bevorzuge hier die recht einfache Polynomdivision. Aber jeder sollte den für sich am einfachsten Weg suchen und finden.

(2x + 1) / (x - 1)  =  2  Rest 3 
2x - 2
———————
    3

Also

(2x + 1) / (x - 1) = 2 + 3 / (x - 1)