Äquivalenzrelationen, starke und schwache Ordnungsrelationen

Question

in der Vorlesung haben wir letztens Äquivalenzrelationen und starke und schwache Ordnungsrelationen definiert.


Nun sollen wir zu Hause verschiedene Relationen auf ihre Eigenschaften hin untersuchen und feststellen, um welche Art der Relation es sich handelt.

Allerdings verstehe ich nicht, wie ich eine Relation auf ihre Reflexivität, bzw. Irreflexivität und ihre Transitivität untersuche.


Die erste zu unterschende Relation war R = {(x,y) ∈ ℤxℤ  I  x+y=6}

Diese Relation ist sebstverständlich symmetrisch. Und bei der Reflexivität habe ich mir überlegt, dass diese nicht gilt, da (1,1) ∉ R. Aber auch die Irreflexivität gilt meiner Meinung nach nicht, denn (3,3) ∈ R.


Und wie untersuche ich, ob die Relation transitiv ist?





 

Answer 1

Ja, richtig. Für die Reflexivität muss gelten: $$\forall a \in \mathbb{Z}: (a,a) \in R$$. Es ist aber (1,1) nicht in R, da 1+1 ungleich 6 ist.

Die Symmetrie gilt offensichtlich, da $$(a,b) \in R \rightarrow a+b = 6 \rightarrow b+a = 6 \rightarrow (b,a) \in R$$.

Zur Transitivität: Dafür muss gelten: $$\forall a,b,c \in \mathbb{Z}: (a,b) \in R \land (b,c) \in R \rightarrow (a,c) \in R$$.

Also wenn a+b = 6 und b+c = 6, dann sind (a,b) und (b,c) in der Relationsmenge. Dann muss auch (a+c) in der Relationsmenge sein. Das gilt es zu beweisen oder zu widerlegen.

Ein Beweis würde fehlschlagen, denn (2,4) ( da 2+4 = 6 ) und (4,2) ( da 4+2 = 6 ) sind in der Relationsmenge, aber ( 2 + 2 ungleich 6 ), also (2,2) ist nicht enthalten.

Also ist sie nicht transitiv.