Bestimmen Sie die Koeffizienten a, b, c, d.

Question

Aufgabe:

Der Graph der Funktion mit der Gleichung y=ax³+bx²+cx+d soll durch die Punkte A, B, C, D gehen. Bestimmen Sie die Koeffizienten a, b, c, d.

a)

A(-2|-24) B(0|4) C(2|0) D(3|16)

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht, wie ich die Funktion mit diesen 4 Punkten bestimmen soll.

Kann mir dabei jemand bitte helfen?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge...

Folgende 4 Punkte sind bekannt:$$A(-2|-24)\quad;\quad B(0|4)\quad;\quad C(2|0)\quad;\quad D(3|16)$$Die Gesuchte ist ein Polynom vom Grad 3, das heißt:$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$

Wir setzen der Reihe nach die Punkte ein und finden:$$\begin{array}{rclrr}-24&=&f(-2)&=&-8a&+&4b&-&2c&+&d\\4&=&f(0)&=& & & & & &&d\\0&=&f(2)&=&8a&+&4b&+&2c&+&d\\16&=&f(3)&=&27a&+&9b&+&3c&+&d\end{array}$$Das ist ein Gleichungssystem mit 4 Unbekannten, das wir nun lösen:

$$\begin{array}{rrrr|r|l}a & b & c & d & = & \text{Aktion}\\\hline-8 & 4 & -2 & 1 & -24 &-\text{Zeile 2}\\0 & 0 & 0 & 1 & 4 & \\8 & 4 & 2 & 1 & 0 &-\text{Zeile 2}\\27 & 9 & 3 & 1 & 16&-\text{Zeile 2}\\\hline-8 & 4 & -2 & 0 & -28 & \\0 & 0 & 0 & 1 & 4 & \\8 & 4 & 2 & 0 & -4 &+\text{Zeile 1} \\27 & 9 & 3 & 0 & 12&:\,3\\\hline-8 & 4 & -2 & 0 & -28 &+\text{Zeile 4} \\0 & 0 & 0 & 1 & 4 & \\0 & 8 & 0 & 0 & -32 &:\,8 \\9 & 3 & 1 & 0 & 4&\\\hline1 & 7 & -1 & 0 & -24 & -7\cdot\text{Zeile 3}\\0 & 0 & 0 & 1 & 4 & \\0 & 1 & 0 & 0 & -4 & \\9 & 3 & 1 & 0 & 4&-3\cdot\text{Zeile 3}\\\hline1 & 0 & -1 & 0 & 4 & \\0 & 0 & 0 & 1 & 4 & \\0 & 1 & 0 & 0 & -4 & \\9 & 0 & 1 & 0 & 16&-9\cdot\text{Zeile 1}\\\hline1 & 0 & -1 & 0 & 4 & +\frac{1}{10}\cdot\text{Zeile 4}\\0 & 0 & 0 & 1 & 4 & \\0 & 1 & 0 & 0 & -4 & \\0 & 0 & 10 & 0 & -20&:\,10\\\hline1 & 0 & 0 & 0 & 2 & \Rightarrow a=2\\0 & 0 & 0 & 1 & 4 & \Rightarrow d=4\\0 & 1 & 0 & 0 & -4 & \Rightarrow b=-4 \\0 & 0 & 1 & 0 & -2&\Rightarrow c=-2\\\hline\hline\end{array}$$

Die Gesuchte ist also:$$f(x)=2x^3-4x^2-2x+4$$

~plot~ 2x^3-4x^2-2x+4 ; {-2|-24} ; {0|4} ; {2|0} ; {3|16} ; [[-2,5|3,5|-26|18]] ~plot~

Answer 2

Du setzt jeweils einen Punkt in die Gleichung ein. Dann bekommst Du ein System aus den 4 Variablen a, b, c, d in 4 Gleichungen, das Du lösen musst.

Answer 3

Der Graph der Funktion mit der Gleichung y=ax^3+bx^2+cx+d soll durch die Punkte A, B, C, D gehen. Bestimmen Sie die Koeffizienten a, b, c, d.

A(-2|-24) B(0|4) C(2|0) D(3|16)

Hallo,

Erst einmal solltest du gucken, welche Zahlen einfach aussehen.

B(0|4) sieht gut aus.

Setzt du x=0, wird y=4.

4=a*0^3+b*0^2+c*0+d

Daraus folgt d=4.

Nun noch mit den Koordinaten der anderen Punkte a, b und c bestimmen.

:-)