Bestimmen sie die die Gleichung der Parabel.

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie die die Gleichung der Parabel, die folgenden Flug darstellt. Der Gegenstand wird in einer Höhe von 2,20m über dem Boden schräg nach oben geworfen, er erreicht sein größte Höhe in einer Entfernung von 8m vom Abwurfpunkt und trifft in einer Entfernung von insgesamt 19,50m auf den Boden auf.

Problem/Ansatz:

P1(0|2,20), P2:S(8|ys), P3(19,5|0)

Ich habe bereits eine Funktionsgleichung. Diese verläuft aber nicht exakt durch die Punkte, sondern nur annäherungsweise.

f(x) = - 0,032*(x-8)^2 + 4,263

Answer 1

in einer Höhe von 2,20m über dem Boden schräg nach oben geworfen, er erreicht sein größte Höhe in einer Entfernung von 8m vom Abwurfpunkt

Laut Symmetrie der Parabel erreicht der Gegenstand bei

        2·8m = 16m

wieder eine Höhe von 2,20m. Verwende (16 | 2,20) anstatt P2.

Answer 2

Zunächst mal muss man annehmen, dass die Entfernungen vom Abwurfpunkt horizontal gemessen werden. Sollten die Entfernungen von Punkt zu Punkt gemeint sein, dann wird es echt kompliziert.

Dann liegen P(0|2,2) und Q(19,5|0) auf der Parabel. Außerdem gilt f '(8)=0.

Wegen P wählen wir den Ansatz f(x)=ax²+bx+2,2.

Abgeleitet: f '(x)=2ax+b.

Dann Q einsetzen:           (1) 0=19,5²a+19,5b+2,2

und f '(8)=0 einsetzen:     (2) 0=16a+b

Dies System hat die (bescheuerten aber genauen) Lösungen: a= - \( \frac{44}{1365} \) und b=\( \frac{704}{1365} \). Dies kann man in den Ansatz einsetzen. Wählt man gerundete Zahlen statt der Brüche, erhält man f(x)=-0,032x²+0,516x+2,2 als Wurfparabel.

Answer 3

Bestimmen sie die die Gleichung der Parabel, die folgenden Flug darstellt. Der Gegenstand wird in einer Höhe von 2,20m über dem Boden schräg nach oben geworfen, er erreicht sein größte Höhe in einer Entfernung von 8m vom Abwurfpunkt und trifft in einer Entfernung von insgesamt 19,50m auf den Boden auf.

Die Scheitelpunktform müsste wie folgt lauten

f(x) = a·(x - 8)^2 + e

Jetzt kennst du

f(0) = 2.2 --> 64·a + e = 2.2

f(19.5) = 0 --> 132.25·a + e = 0

Löse das Gleichungssystem und erhalte

a = - 44/1365 ∧ e = 5819/1365

Damit stellst du dann die Funktion auf

f(x) = - 44/1365·(x - 8)^2 + 5819/1365

Man könnte diese Funktion jetzt noch ausmultiplizieren

f(x) = - 44/1365·x^2 + 704/1365·x + 11/5

und für Würfe eventuell sogar eine Näherungslösung angeben

f(x) = -0.03223·(x - 8)^2 + 4.263

f(x) = - 0.03223·x^2 + 0.5158·x + 2.2

Deine Näherungslösung sieht also eigentlich schon recht gut aus. Wie gesagt muss man nicht nähern sondern kann die Brüche exakt stehen lassen.