Aloha :)
Am einfachsten stellst du zuerst die beiden Geradengleichugnen auf, etwa so:
$$g:\,\vec x=\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}5-3\\3-1\\4-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}$$$$h:\,\vec x=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3-2\\3-1\\2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$$
und setzt die beiden Geraden dann gleich, etwa so:
$$\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}=-s\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$$
Jetzt hast du 3 Gleichungen für 2 Unbekannte \(s\) und \(t\), also eine Gleichung zu viel. Wir lassen daher die letzte Gleichung weg und lösen das Gleichungssystem anhand der ersten beiden Gleichungen:$$1=-2s+t$$$$0=-2s+2t\implies 2s=2t\implies s=t$$Aus der zweiten Gleichung folgt \(s=t\), das heißt mit der ersten Gleichung:$$1=-2s+t=-2s+s=-s\implies s=-1$$Wir erhalten also als Lösung \(s=t=-1\).
Aber Vorsicht. Es kann sein, dass die beiden Geraden sich überhaupt nicht schneiden. Das ist der Fall, wenn die dritte Gleichung, die wir bei der Berechnung weggelassen haben, nicht erfüllt wird. Wir prüfen daher die dritte Gleichung nach:$$1=-2s+t=-2\cdot(-1)+(-1)=2-1=1\quad\checkmark$$Der gemeinsame Schnittpunkt ist also bei:$$\vec s=\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\quad\implies\quad S(1|-1|0)$$
