Zeigen Sie, dass die Geraden sich schneiden, und berechnen Sie den Schnittpunkt

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die gerade G durch A u. B sowie die grade h durch C & D. zeigen Sie dass die geraden sich schneiden und berechnen Sie den Schnittpunkt S.

A(4/1/5), B(606), C(1/2/3), D(-2/5/3)

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider nicht genau wie man Vorgeht…bitte Hilfe:)

Comments

Ich weiß leider nicht genau wie man Vorgeht

Weißt Du, wie man eine Geradengleichung durch zwei Punkte aufstellt?

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Hast Du eine räumliche Vorstellung davon?

(klick auf das Bild)

Answer 1

Hallo

1. Schritt  G aufstellen Punkt A+r*Vektor AB

2. Schritt h aufstellen Punkt c + s*Vektor CD

3. Schritt G=h komponentenweise Gleichungen aufstellen, Sur eliminieren

grüß lul

Answer 2

\( \vec{OA} \)+k·(\( \vec{OA} \)-\( \vec{OB} \))=\( \vec{OC} \)+j·(\( \vec{OC} \)-\( \vec{OD} \)). Drei Komponentengleichungen mit den Unbekannten k und j.

Answer 3

Richtungsvektoren berechnen

AB = B - A = [2, -1, 1]

CD = D - C = [-3, 3, 0]

Geraden aufstellen und gleichsetzen

[4, 1, 5] + r·[2, -1, 1] = [1, 2, 3] + s·[-3, 3, 0] --> r = -2 ∧ s = 1/3

S = [4, 1, 5] - 2·[2, -1, 1] = [0, 3, 3]

Die Geraden schneiden sich im Punkt S(0 | 3 | 3).

Comments

Danke…woher weißt du was s und r ist?

Das bräuchte ich bitte ausformuliert als Gleichsetzung

Vielen Dank

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Die Vektorgleichung ergibt ein lineares Gleichungssystem. Du solltest lineare Gleichungssysteme mittels

1. Gleichsetzungsverfahren
2. Einsetzungsverfahren oder
3. Additionsverfahren

lösen können. Willst du das mal probieren?

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…woher weißt du was s und r ist?

aus der Lösung dieses Gleichungssystems:

[4, 1, 5] + r·[2, -1, 1] = [1, 2, 3] + s·[-3, 3, 0]

In (Spalten-)Vektorschreibweise:$$\begin{pmatrix}4\\ 1\\ 5\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}2\\ -1\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\end{pmatrix}  +s\cdot \begin{pmatrix}-3\\ 3\\ 0\end{pmatrix}$$dies sind drei Gleichungen mit den zwei Unbekannten \(r\) und \(s\).

Aus der letzten Gleichung folgt:$$\begin{aligned}5+r\cdot 1&=3 + s \cdot 0&&|\,-5 \\r &= -2\end{aligned}$$Setze das nun in die ersten beiden Gleichungen ein. Wenn ein Schnittpunkt existiert, muss dann für \(s\) in beiden Fällen der selbe Wert heraus kommen.

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Danke…Also ich sitze jetzt -2 für r ein für die ersten beiden Gleichungen…. Und was hat das mit S zutun?

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Also ich setze jetzt -2 für r ein für die ersten beiden Gleichungen…. Und was hat das mit s zutun?

Die ersten beiden Gleichungen lauten doch:$$\begin{aligned} 4 + r\cdot 2 &= 1 + s \cdot (-3) \\ 1+ r\cdot (-1) &= 2 + s\cdot 3\end{aligned}$$Wenn man nun in die erste Gleichung \(r=-2\) einsetzt ... $$\begin{aligned} 4 + \underbrace{(-2)}_{=r}\cdot 2 &= 1 + s \cdot (-3) \\ 4 - 4 &= 1 - 3s &&|\,+3s\\ 3s &= 1 &&|\,\div 3\\ s &= \frac{1}{3}\end{aligned}$$... kann man den Wert für \(s\) berechnen. Wenn Du dies auch für die zweite Gleichung machst kommt der gleiche Wert für \(s\) heraus. Daraus folgt, dass ein Schnittpunkt existiert und er lässt sich mit den gefundenen Werten von \(r\) oder \(s\) berechnen:$$\begin{aligned}g:\quad x(r=-2)& = \begin{pmatrix}4\\ 1\\ 5\end{pmatrix} + (-2)\cdot \begin{pmatrix}2\\ -1\\ 1\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}4\\ 1\\ 5\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-4\\ 2\\ -2\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}0\\ 3\\ 3\end{pmatrix} \end{aligned}$$und dies ist auch der Schnittpunkt der Geraden \(g\) und \(h\). Mache dasselbe zur Probe mit der Geraden \(h\) und \(s=1/3\).