Winkel und Vektoren miteinander

Question

a) \( \vec{u}=\left(\begin{array}{r}2 \\ -1 \\ 2\end{array}\right) ; \vec{v}=\left(\begin{array}{r}4 \\ 0 \\ -3\end{array}\right) \)

Also man soll da den Winkel berechnen, den die vektoren miteinander einschließen. Aber ich hab keine Ahnung wie...

Answer 1

$$α = \arccos \left( \frac{\begin{pmatrix} 2\\-1\\2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\0\\-3 \end{pmatrix}}{\left\| \begin{pmatrix} 2\\-1\\2 \end{pmatrix} \right\| \cdot \left\| \begin{pmatrix} 4\\0\\-3 \end{pmatrix} \right\|} \right) \\ α = \arccos \left( \frac{2 \cdot 4 + (-1) \cdot 0 + 2 \cdot (-3)}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} \cdot \sqrt{4^2 + 0^2 + 3^2}} \right) \\ α = \arccos \left( \frac{2}{15} \right) \\ α = 82.34^o$$

Answer 2

Hallo,

das macht man mit dem Skalarprodukt. Ist \(\varphi\) der Winkel zwischen zwei (Spalten-)Vektoren \(\vec u\) und \(\vec v\), dann gilt$$\cos \varphi = \frac{\vec u^T \cdot \vec v}{|\vec u|\cdot |\vec v|}$$Konkret in diesem Fall$$\begin{aligned}\cos \varphi &= \frac{\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix}4 \\ 0 \\ -3\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix}4 \\ 0 \\ -3\end{pmatrix}\right|} \\&= \frac{2\cdot 4 + (-1)\cdot 0 + 2\cdot (-3)}{\sqrt{2^2 + (-1)^2+2^2}\, \cdot \sqrt{4^2 + (-3)^2}} \\&= \frac{2}{3 \cdot 5} = \frac 2{15} \\ \implies \varphi &\approx 82,3° \end{aligned}$$

Ich habe das mal im Geoknecht3D eingegeben. Der berechnete Winkel scheint zu stimmen ...

(klick auf das Bild)