bestimmen die Grenzwerte

Question

Aufgabe:

c) \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1-2^{x}}{2^{x}-4^{x}} \quad \)

d)  \( \lim\limits_{n\to\infty}\frac{(n+1) !}{n^{n}} \)

e) \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1-2^{-x}}{1-2^{x}} \quad \)

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d) lim n → unendlich

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Habs angepasst.

Answer 1

Hallo, bei c) und e) hast du den Fall "0/0" s unbestimmten Ausdruck vorliegen. Verwende also L'Hospital.

d) kannst du mal folgendermaßen umschreiben:

\(0\leq \frac{(n+1)!}{n^n}=(n+1)\cdot \frac{n!}{n^n}=(n+1)\cdot \frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot...\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{n\cdot n\cdot n\cdot...\cdot n\cdot n\cdot n}\\=n\cdot \frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot...\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{n\cdot n\cdot n\cdot...\cdot n\cdot n\cdot n}+1\cdot \frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot...\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{n\cdot n\cdot n\cdot...\cdot n\cdot n\cdot n}\\=n\cdot \frac{n}{n}\cdot \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-2}{n}\cdot...\cdot \frac{3}{n}\cdot \frac{2}{n}\cdot \frac{1}{n}\\\quad +1\cdot \frac{n}{n}\cdot \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-2}{n}\cdot...\cdot \frac{3}{n}\cdot \frac{2}{n}\cdot \frac{1}{n}\\=n\cdot 1\cdot \underbrace{\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-2}{n}\cdot...\cdot \frac{3}{n}}_{\leq 1}\cdot \frac{2}{n}\cdot \frac{1}{n}\\\quad +1\cdot 1\cdot \underbrace{\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-2}{n}\cdot...\cdot \frac{3}{n}\cdot \frac{2}{n}}_{\leq 1}\cdot \frac{1}{n}\\\leq n\cdot \frac{2}{n}\cdot \frac{1}{n}+\frac{1}{n}=\frac{3}{n} \stackrel{n\to \infty}{\longrightarrow} 0\)

Comments

Ich habe schon mit 0/0 aber geht nicht können Sie bitte die auch machen bitte

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Was sind deine Rechnungen? Dann kann ich dir besser helfen.

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Ich will Foto machen für meine Lösung wie kann man das machen??

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Das Foto kannst bei Grafik hochladen (unten) reinstellen.

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\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1-2^{-x}}{1-2^{x}}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{-2^{x} \ln (-2)}{2^{x} \cdot \ln (2)} \)

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Nein. Es gilt \((1-2^{-x})'=(1+(-1)\cdot 2^{-x})'\\=(-1)\cdot \ln(2)\cdot 2^{-x}\cdot (-1)=\ln(2)\cdot 2^{-x}\) und

\((1-2^x)'=(1+(-1)\cdot 2^x)'=(-1)\cdot \ln(2)\cdot 2^x=-\ln(2)\cdot 2^x\)

Also \(\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1-2^{-x}}{1-2^{x}}\stackrel{L'H}{=}\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(2)\cdot 2^{-x}}{-\ln(2)\cdot 2^x}=\lim\limits_{x\to 0} -1\cdot 2^{-2x}=-1  \)

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Aha und bei c auch so ?

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Ja, im Prinzip dasselbe machen.

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Hallo, bei c) und e) hast du den Fall "0/0" s unbestimmten Ausdruck vorliegen. Verwende also L'Hospital.

Das ist die Notlösung für Leute, die es nicht besser können.

Klammere bei c) 2^x im Nenner aus und kürze dann den Bruch.

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\( \frac{2^{x}\left(\frac{1}{2 x}-1\right)}{2^{x}\left(1-\frac{4^{x}}{2^{x}}\right)}=\frac{0-1}{1-0}=-1 \)

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Autsch.

Google "ausklammern" oder besuche eine zur Hochschulreife führende Lehreinrichtung.

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Klammere bei c) 2^x im Nenner aus und kürze dann den Bruch.

Nachdem du inzwischen deinen Kommentar verschlimmbessert hast:

Google das Wort "Nenner" (und überlege dann, was \( \frac{4^x}{2^x} \) in einer vereinfachten Schreibweise ergibt und warum das entgegen deiner Meinung NICHT gegen 0 geht).

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Können Sie bitte das lösen????

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Klammere bei c) 2^x im Nenner aus und kürze dann den Bruch.

Klammere es NUR IM NENNER aus.

Kürze dann den Bruch.

Übrigens gilt \( \frac{a^x}{b^x} \)=\( (\frac{a}{b} )^x\)