1) Berechne R ( t ) zu den angegebenen Zeitpunkten t = 0 , t = 4, t = 8 und t = 12:
R ( 0 ) = 38 * e - 0,12 * 0 = 38 %
R ( 4 ) = 38 * e - 0,12 * 4 = 23,5 %
R ( 8 ) = 38 * e - 0,12 * 8 = 14,5 %
R ( 12 ) = 38 * e - 0,12 * 12 = 9,0 %
EDIT: Der Fragesteller verlangt nach noch genaueren Erläuterungen, also:
Die Funktion R ( t ) gibt an, (und zwar in % ) wie hoch das relative Risiko ist, an Lungenkrebs zu erkranken, wenn man jahrelang geraucht hat, aber seit t Jahren nicht mehr raucht.
Demzufolge gibt R ( 0 ) an, wie hoch das Risiko ist, wenn man seit t = 0 Jahren nicht mehr raucht, wenn man also gerade aufgehört hat zu rauchen. R ( 4 ) hingegen gibt an, wie hoch das Risiko ist, wenn man seit t = 4 Jahren nicht mehr raucht usw.
Der Fragesteller fragt danach, wie man die Basis e "eliminiert". Er hat möglicherweise eine falsche Vorstellung.
e ist einfach nur ein Name für eine bestimmte Zahl. Diese Zahl ist irrational, kann also nicht als Dezimalzahl mit endlich vielen Nachkommasstellen oder als Bruch geschrieben werden. Um diese Zahl dennoch genau angeben zu können, hat man ihr einfach einen Namen gegeben, nämlich den Namen "e". (Genauso hat man es übrigens auch beim Verhältnis von Kreisumfang zu Kreisdurchmesser gemacht. Dieses Verhältnis ist ebenfalls eine irrationale Zahl und hat den Namen "π" bekommen.)
Die ersten Stellen der Zahl e sind:
e = 2,7182818284...
Man könnte daher z.B. statt
R ( 4 ) = 38 * e - 0,12 * 4
auch schreiben:
R ( 4 ) = 38 * 2,7182818284...- 0,12 * 4
Und wie rechnet man das aus?
Nun, man rechnet zunächst den Exponenten aus:
- 0,12 * 4 = - 0,48
Dann bestimmt man den Wert der Potenz mit diesem Exponenten:
e - 0,48 = 2,7182818284...- 0,48 ≈ 0,6187833918...
und multipliziert dieses Ergebnis schließlich mit 38:
R ( 4 ) = 38 * 0,6187833918... ≈ 23,5137688884
gerundet: 23,5
Dieses Ergebnis ist laut Aufgabenstellung ein Prozentwert, also:
R ( 4 ) = 23,5 %
Ich hoffe, dass dies nun hinreichend viele Einzelschritte sind - noch einzelner kann man es eigentlich nicht schreiben...
2) https://www.wolframalpha.com/input/?i=38*exp%28-0.12t%29from-3to20
3) Berechne t sodass gilt: R ( t ) = 1 :
38 * e - 0,12 * t = 1
<=> e - 0,12 * t = 1 / 38
EDIT: Hier wird nun auf beiden Seiten der Gleichung die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion, also der natürliche Logarithmus ln ( x ) angewendet. Zum besseren Verständnis hier noch ein Zwischenschritt:
<=> ln ( e - 0,12 * t ) = ln ( 1 / 38 )
Es gilt: ln ( e x ) = x .
Daher steht in der folgenden Gleichung auf der linken Seite nun der ursprüngliche Exponent von e, also - 0,12 * t
<=> - 0,12 t = ln ( 1 / 38 )
Nun wird die Gleichung noch durch - 0,12 dividiert und man erhält den Wert von t:
<=> t = ln ( 1 / 38 ) / -0,12 = 30,3
Also: Nach etwa 30 Jahren haben die beschriebenen ehemaligen Raucher das gleiche Risiko, an Lungekrebs zu erkranken, wie jemand, der nie geraucht hat.
4) Für die Gleichung der Tangente an R ( t ) an der Stelle t = 0 benötigt man die Steigung von R ( t ) an dieser Stelle, also den Wert der Ableitung R ' ( 0 ):
R ' ( t ) = 38 * ( - 0,12 ) * e - 0,12 * t
R ' ( 0 ) = 38 * ( - 0,12 ) * e - 0,12 * 0 = - 4,56
Die Tangente muss also die Steigung m = - 4,56 haben und durch den
Punkt ( 0 | R ( 0 ) ) = ( 0 | 38 ) verlaufen.
Daraus ergibt sich die Tangentengleichung:
f ( t ) = - 4,56 t + 38
Hier nochmal der Graph von R ( t ) mit dieser Tangenten:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=-4.56t%2B38%2C38*exp%28-0.12t%29from-3to10
5) Die anfängliche Abnahmegeschwindigkeit des relativen Risikos ist gegeben durch die Steigung der Tangenten an der Stelle t = 0 , die unter 4) berechnet wurde. Die Tangente selbst beschreibt den jeweiligen Wert des Restrisikos zum Zeitpunkt t, wenn diese Geschwindigkeit beibehalten wird.
Zur Lösung der Aufgabe 5 muss man also berechnen, für welches t gilt:
f ( t ) = 1
<=> - 4,56 t + 38 = 1
<=> t = ( 1 - 38 ) / -4,56 = 8,1
Unter Beibehaltung der anfänglichen Abnahmegeschwindigkeit des relativen Risikos hätte ein ehemaliger Raucher also bereits nach etwa 8 Jahren dasselbe Risiko erreicht, wie jemand, der nie geraucht hat.
