Implizite Funktion GRS

Question

Aufgabe:

Ableitung einer impliziten Funktion bestimmen an der Stelle f(1,2)

f(x,y)=2xe^x+yx^2+ln(y^2)+ye^x=y+1

Problem/Ansatz:

… Ich habe es mithilfe der GRS versucht und natürlich davor ein Minus gesetzt. Ich bin mir aber nicht sicher, ob mein Ergebnis richtig ist.

habe es abgeleitet und an der Stelle f(1,2)=-3,152 rausbekommen.

Comments

Das ist ne ziemliche Rechnereidie du uns zumutest. was ist GRS?

lul

Answer 1

Hallo,

f(x,y)=2xe^x+yx^2+ln(y^2)+ye^x-y-1=0

f_x=\( 2 x y+e^{x}(2 x+y+2) \)

f_y=\( x^{2}+e^{x}+\frac{2}{y}-1 \)

allgemein:

y'= \( \frac{-fx}{fy} \)

eingesetzt:

=\( \frac{-(4+6e)}{e+1} \)

≈ -5.462

Answer 2

Aloha :)

Definiiere die Hilfsfunktion:$$g(x;y)\coloneqq f(x;y)-(y+1)=(2xe^x+yx^2+\ln(y^2)+ye^x)-(y+1)=0$$

Da die Funktion identisch \(0\) ist, muss auch ihr totales Differential gleich \(0\) sein:$$0=dg=\frac{\partial g}{\partial y}\,\frac{dy}{dx}+\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{\partial g}{\partial y}\,y'(x)+\frac{\partial g}{\partial x}\quad\implies\quad y'(x)=-\frac{\frac{\partial g}{\partial x}}{\frac{\partial g}{\partial y}}$$

Wir setzen den Funktionsterm ein und rechnen aus:$$y'(x)=-\frac{2e^x+2xe^x+2yx+ye^x}{x^2+\frac{2y}{y^2}+e^x-1}=-\frac{e^x(2+2x+y)+2yx}{x^2+\frac{2}{y}+e^x-1}$$

Mit \((x;y)=(1;2)\) finden wir die Ableitung:

$$y'(1)=-\frac{e(2+2+2)+2\cdot2}{1+\frac{2}{2}+e-1}=-\frac{6e+4}{e+1}\approx-5,462117$$

Comments

Hallo,

sollte für dieses Szenario nicht g(1,2)=0 gelten?

Mich würde auch interessieren, was GRS bedeutet?

Gruß

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Hallo Peter ;)

Ja, ich habe mir extra die Funkion \(g(x;y)\) so definiert, dass sie gleich \(0\) ist. Ich habe die Aufgabe so verstanden, dass \(y'(x)\) speziell an der Stelle \(x=1\) bestimmt werden soll.

Stefan

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Hallo,

sollte für dieses Szenario nicht g(1,2)=0 gelten?

Mich würde auch interessieren, was GRS bedeutet?

Gruß

Ja, aber woher weiß ich, dass y(1)=2 ist?

Gruß

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Achso, jetzt weiß ich, was du meinst...

Wir haben ja \(f(x;y)=f(x;y(x))\). Es soll die implizite Ableitung \(y'(x)\) an der Stelle \(f(1;2)\) bestimmt werden, das heißt doch dann, dass \(x=1\) und \(y(x=1)=2\) ist.

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Sollte nicht sein für x=1:

$$0=f(x,y(x))=f(1,y(1))=f(1,2)$$

Aber es ist nicht f(1,2)=0?

Gruß

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Stimmt, es sollte eigentlich \(f(x;y)=\cdots=y+1\) sein. Insbesondere also \(f(1;2)=3\). Aber das ist es schon in der Aufgabenstellung nicht.

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Ja, das war mein Bedenken. Man kann die Berechnung noch retten, wenn man sagt, dass die Funktion y eben die Gleichung

$$g(x,y(x))-g(1,2)=0$$

erfüllt.

Gruß