Eine Parameterform für die Ebene angeben in der das Dreieck/ das Viereck liegt.

Question

Aufgabe:

Geben sie eine Parameterform für die Ebene an, in der das Dreieck bzw. das Viereck liegt. Die Punkte liegen entweder in den Koordinatenebenen oder ihr Abstand von der x₁x₂ - Ebene ist eingezeichnet. Eine Kästchenlänge entspricht einer Koordinationeinheit.

Problem/Ansatz:

Ich bräuchte Hilfe bei der Aufgabe, wäre sehr nett wenn mir jemand hilft.

Answer 1

Aloha :)

a) Wir haben die Punkte \(A(6|0|2)\), \(B(6|5|0)\) und \(C(0|1|3)\). Eine mögliche Ebenengleichung in Parameterform lautet daher:$$\vec x=\begin{pmatrix}6\\0\\2\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}6-6\\5-0\\0-2\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0-6\\1-0\\3-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\0\\2\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}0\\5\\-2\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-6\\1\\1\end{pmatrix}$$Beachte bitte, dass die Ebenengleichung nicht eindeutig ist, du kannst z.B. einen anderen Punkt als \(A\) als Startpunkt nehmen oder die Richtungsvektoren mit einer beliebigen Zahl ungleich null multiplizieren.

b) Wie in Teil a) reichen uns 3 Punkte \(A(0|3|3)\), \(B(1|6|1)\) und \(C(7|5|0)\). Eine mögliche Ebenengleichung in Parameterform lautet daher:$$\vec x=\begin{pmatrix}0\\3\\3\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}1-0\\6-3\\1-3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}7-0\\5-3\\0-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\3\\3\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}7\\2\\-3\end{pmatrix}$$Auch diese Ebenendarstellung ist nicht eindeutig. Deine Kollegen können andere Lösungen haben.

Comments

Vielen dank für die ausführliche Lösung! Hatte es selbst versucht aber hab die Punkte dummerweise nicht richtig abgelesen und deshalb nichts vernünftiges raus bekommen :D

Jetzt hab ich es auf jeden Fall verstanden, danke dir! :)

Answer 2

Eine Parameterform für die Ebene, die durch die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) verläuft, lautet

        \(\vec{x} = \vec{OA} + r\cdot\vec{AB} + s\cdot\vec{AC}\).

Lies die Punkte aus dem Koordinatensystem ab.