Aloha :)
$$\left.x-2=\sqrt x\quad\right|(\cdots)^2$$$$\left.(x-2)^2=x\quad\right|\text{2-te binomische Formel links}$$$$\left.x^4-4x+4=x\quad\right|-x$$$$\left.x^4-5x+4=0\quad\right.$$Zur Anwendung des Satzes von Vieta suchen wir zwei Zahlen mit der Summe \((-5)\) und dem Produkt \(4\). Das leisten die beiden Zahlen \((-4)\) und \((-1)\). Daher haben wir die Zerlegung:$$\left.(x-4)(x-1)=0\quad\right|\text{Satz vom Nullprodukt}$$$$x=4\text{ oder } x=1$$
Weil das Quadrieren im ersten Schritt keine Äquivalenzrelation ist, d.h. du kannst z.B. aus \(x^2=4\) nicht eindeutig folgern, ob \(x=2\) oder \(x=-2\) ist, machen wir die Probe:$$x=4\implies 4-2=\sqrt4\implies 2=2\quad\checkmark$$$$x=1\implies 1-2=\sqrt1\implies -1=1\quad\text{FAIL}$$Die Lösung ist also \(x=4\).
