Rechteck und Funktionsuntersuchung

Question

Aufgabe: Zwischen der Funktion f(x)= 2x hoch 2 -8 und der x-Achse soll ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt gezeichnet werden. Zwei Ecken des Rechtecks sollen auf der x-Achse, zwei auf dem Funktionsgraphen liegen.

Gesucht sind die Seitenlängen des Rechtecks in der Flächeninhalt

…

Problem/Ansatz: Ich versteh die Aufgabe nicht und weiß nicht wie ich anfangen soll!!!! Hilfe

Comments

also solche Aufgaben nennt man Extremwertaufgabe unter einer Nebenbedingung.

Also dein Flächeninhalt soll maximal werden, ok wie lautet denn dann erstmal deine Formel für den Flächeninhalt: A=x*y und du hast die Funktion gegeben f, ok das heißt die Hauptbedingung ist der Flächeninhalt und die Nebenbedingung die Funktion. Gut, jetzt müssen wir die Zielfunktion aufstellen. Wie geht das? Naja die Funktion ist ja die Höhe deines Rechteckes, also können wir y durch f ersetzen und dann hast du deine Zielfunktion. Ok, jetzt wollen wir, dass der Inhalt ja maximal wird, dass heißt wir finden das Maximum über die Ableitung der Zielfunktion und setzen diese Null, dann überprüfst du noch ob dein zweite Ableitung das hinreichende Kriterium für ein Maximum erfüllt und kannst dann durch einsetzen des x Wertes in deine Zielfunktion den y Wert herausfinden und dann schlussendlich den Flächeninhalt bestimmen.

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danke erstmal.

Jedoch versteh ich nicht ganz, was du meinst mit y  durch f ersetzen. in welche Gleichung soll ich das ersetzen? Und wie lautet die Ableitung der Zielfunktion?

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Deine Funktion f(x)=2x^2 - 8 ist Jaa deine Höhe deines Rechteckes. Und für f(x) kannst du ja y schreiben also y=2x^2 - 8. Aber das kannst du ja für dein y einsetzen bei A=x*y also ist die Zielfunktion A(x) = x* (2x^2 - 8) = 2x^3 - 8x

Von der möchtest du das Maxima bestimmen. Also erste Ableitung und 0 setzen. Dann den Wert für x ausreichnen, hinreichend Bedingung prüfen, in die Zielfunktion einsetzen und damit den y Wert rausbekommen. Und dann kannst du x und y Wert einfach in deine Flächenformel A=xy einsetzen und weißt wie groß deine maximale Fläche ist

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Danke.

Ich denke ich habe es jetzt verstanden

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Also ich habe für x=1 raus

Stimmt das?

Und jetzt setze ich das x in die Zielfunktion ein

Und bekomme einmal 0 und einmal -6 raus

Aber eigentlich müsste es dann 0 sein, weil der Flächeninhalt nicht negativ sein kann

Aber dann wäre der maximale Flächeninhalt 1 qm

Answer 1

x*f(x) maximieren:

x*(2x^2-8) = 2x^3-8x

f'(x)= 0

6x^2-8=0

x^2 = 8/6 = 4/3

f(4/3) = 4/3*(2*(4/3)^2-8))

Comments

Nach meiner Berechnung kommt -160/27 raus

Aber des geht doch nicht oder?

Ich steh total auf dem schlauch

Muss man nicjz noch die Wurzel von 4/3 ziehen? Wegen den x^2

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Ja, sorry, das hab ich vergessen. :)

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Da kommt immer noch eine negative Zahl raus.

Irgendwas stimmt nicht aber ich komme nicjt drauf

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Ich hab jetzt nochmal drübergeschaut und ich entdecke einfach keinen Fehler.

Es macht alles Sinn, nur das Ergebnis ist komisch, weil es negativ ist aber das kann ja gar nicht sein for eine Seitenlänge eines Rechtecks.

♀️♀️♀️

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Du hast es doch schon richtig gesagt: aus 4/3 muss noch die Wurzel gezogen werden.

Dann ist das Ergebnis \( \pm \sqrt{\frac{4}{3}} \). Die negative Zahl interessiert nicht, also

\(x=\sqrt{\frac{4}{3}}\approx 1,1547\)

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Okay, also bei x und x einfach das - ignorieren oder wie?

Ich habe jetzt für x 1,15 und für y -6,16

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ich habe dir eine Skizze gemacht:

Da die Parabel und somit auch das Rechteck symmetrisch zur y-Achse sind, brauchst du nur einen x-Wert und verdoppelst ihn. Das ist dann eine Seite des Rechtecks, die andere ist \(f(\sqrt{\frac{4}{3}})=-\frac{16}{3}\)

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Wie kamst du jetzt auf die -16/3?

Weil wenn ich die 1,15 in die Gleichung einsetze kommt nur 6,15 raus

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Du musst die 1,15 in die Ausgangsgleichung einsetzen.

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Achso

Dann hab ich jetzt als Ergebnis 6,095 raus

Ist das Endergebnis?

Also es war ja -16/3 , aber weil es + und - ist

Ist das Ergebnis am Ende trotzdem positiv oder?

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\(f(x)=2x^2-8\\ f(1,15)=2\cdot 1,15^2-8\approx-5,35\)

Die eine Seite des Rechtecks ist also 2 • 1,15 = 2,3 und die andere 5,35 Einheiten lang.

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Wieso die 1,15 mal 2 nehmen?