Lösung zu Integral von 8/(x-1)2+4

Question

Aufgabe:

$$\int \limits_{}^{} \frac{8}{(x-1)^2+4} dx=\int \limits_{}^{} \frac{8}{ 4 \cdot ( \frac{(x-1)^2}{4}+1)}dx=\int \limits_{}^{} \frac{2}{ \frac{(x-1)^2}{4}+1}dx=2\int \limits_{}^{} \frac{1}{(\frac{x-1}{2})^2+1}dx=2 \cdot \arctan(\frac{x-1}{2})+C$$ 

Problem/Ansatz:

Warum ist dies falsch? bzw. warum ist das nicht erlaubt einfach die 4 auszuklammern und zu kürzen?
Laut Integralrechner erhalte ich folgende Lösung:
$$4 \cdot \arctan(\frac{x-1}{2})+C$$

Und ja, ich weiß der Integralrechner zeigt auch eine Lösungsweg an, aber finde den nicht gerade "menschen freundlich".

Answer 1

Hallo

deine Umformung ist bis zum letzten Integral richtig, erst beim arctan wird es falsch, normalerweise macht man die Substitution (x-1)/2=u  dann du=1/2dx oder dx=2du

daher der Faktor 2 der bei dir fehlt. Man kann "imKopf" substituieren, muss dann aber auch das 1/2 mitdenken.

Gruß lul

Comments

Super, danke für die leichte Erklärung. Macht jetzt für mich auch Sinn.

Answer 2

Du musst substituieren. Sei u=x-1, du müsstest substituieren nochmals und faktorisiere aus u=2*v. Deswegen hattest du zu viel weggekürzt, aber du darfst das Argument in einer trigonom. Funktion nicht mit faktorisieren beim Integrieren. Deshalb kannst du oft das Argument einer trigonom. Funktion, hier arctan, substituieren.

dann hast du 8*∫1/(2(v²+1) dv = 8* 1/2 * arctan (v) und jetzt nur noch rücksubstituieren.
LG