Integrieren - Punkte müssen auf der Funktion liegen

Question

Bitte um Hilfe,

wenn ich von einer Funktion die 2. Ableitung kenne und meine Grundfunktion f brauche, dann muss ich diese 2 mal integrieren, das ist klar. Mein Problem ist, dass ich diese so integrieren muss, dass am Ende auf f folgende 2 Punkte liegen.

P1 (-2 / 0)

P2 (2 / 4)

f´´(x) = x - 1

Integrieren ist klar, aber die Punkte sollen am Schluss auf der Funktion liegen.

Bitte um Hilfe, stehe auf der Leitung!!

Answer 1

Hallo,

Die Funktion selber hattest Du schon$$f(x) = \frac 16 x^3 - \frac 12x^2 +cx + d$$Setze nun die beiden Punkte \(P_1(-2|\,0)\) und \(P_2(2|\,4)\) ein:$$f(-2) = -\frac 43 - 2 -2c + d = 0 \\ f(2) = \frac 43 - 2 +2c + d = 4  $$

Das Gleichungssystem mit 2 Unbekannten kann ich leider nicht sehen.

obige beiden Gleichungen führen nach dem Aufräumen zu$$\begin{aligned}-2c + d &= \frac{10}3 \\ 2c + d &= \frac{14}3 \end{aligned}$$Und dies ist ein Gleichungssystem mit den beiden Unbekannten \(c\) und \(d\) und der Lösung \(c=1/3\) und \(d=4\).

Die vollständige Funktion ist dann $$f(x) = \frac 16 x^3 - \frac 12x^2 +\frac 13x + 4$$

~plot~ (1/6)x^3-(1/2)x^2 +x/3+4;{-2|0};{2|4};[[-4|6|-2|5]] ~plot~

Comments

Ich absolut verwirrter Kerl!!! Ich hatte alles, leider kann ich das Lösen eines Gleichungssystems nicht mehr, wie traurig, wie dumm!! :)

Ärgern werde ich mich noch Stunden!!

LG

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... leider kann ich das Lösen eines Gleichungssystems nicht mehr

womöglich nur aus der Übung ;-)

Addiere die beiden Gleichungen und dann steht da \(2d=8\) und subtrahiere sie und Du erhältst \(4c=4/3\)

Answer 2

Bedenke, dass du beim Integrieren jeweils eine Konstante mitbekommst. So hast du also 2 Konstanten, die du so anpassen musst, dass es für die Punkte passt: 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten.

Comments

Danke für die schnelle Antwort, das habe ich berücksichtigt. Ich weiß auch, wie ich mir die Konstante c ausrechne wenn ich einen Punkt habe. Das Gleichungssystem mit 2 Unbekannten kann ich leider nicht sehen.

Einmal Integrieren

f´(x) = x² / 2 - x + c

c = -4 wenn ich den Punkt (-2 / 0) berücksichtige

c = +4 wenn ich den Punkt (2 / 4) berücksichtige

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Beim ersten Mal integrieren bekommst du eine Funktion mit C₁.

Dann nochmal Integrieren gibt neue Funktion mit C₂.

Somit hast du eine Funktion, in der C₁ und C₂ vorkommen. s Georg Born unten.

Nun setzt du beide Punkte in diese Funktion ein.

Answer 3

f´(x) = x² / 2 - x + c
f ( x ) = 1/2 * x^3 / 3- x^2 / 2 + cx + d

P1 (-2 / 0)
P2 (2 / 4)

2 Gleichungen mit 2 Unbekannten,
müßte zu lösen sein.

Comments

Vielen Dank, diese Lösung hatte ich, jedoch dachte ich, dass etwas falsch ist. Wenn ich diese Gleichung ausrechne kommt das falsche Ergebnis.

0 = - 4/3 - 2 - 2c + d (P1 eingesetzt)

4 = + 4/3 - 2 + 2c + d (P2 eingesetzt)

nach d auflösen und einsetzen. Wenn ich den Graphen zeichne liegen die Punkte leider nicht auf dem Graphen.

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Es ist in beiden Fällen +2 !

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Bei mir kommt heraus
c = 1/3
d:= 4

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Vielen Dank!! Ein Gleichungssystem sollten man schon lösen können!! :)

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Gräme dich nicht allzulang.